从“双基”到“四基”,从“两能”到“四能”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）在“总目标”中明确提出学生能“获得适应社会生活和进一步发展所需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，与《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准（实验稿）》）相比，对义务教育数学课程总目标的表述从“双基”到“四基”，从“两能”到“四能”，可以说是《标准（2011年版）》与《标准（实验稿）》之间最显著的区别．它的意义何在？对初中数学教学将会提出哪些要求？对此我们可以从以下几个方面来认识．

一、 时代的需求

《标准（实验稿）》的修订是以《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）》为指导的． 课程理念、目标的设定必须根据从2010到2020这一时代国家经济发展、社会变革的需要．在未来的十年中我国的经济将平稳较快地发展、社会和谐持续进步，与此同时国际竞争日益激烈，我们必须应对未来的挑战，为此教育就必须为国家培养高素质的劳动者和各类人才． 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育不仅要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用. 从这一层意义来说，让学生获得“基本思想”与“基本活动经验”更具有深远的意义． 同样从培养人的思维能力和创新能力这一意义上来说，数学课程在培养学生能力方面的目标设定也需要进一步的完善． 传统的提法“增强分析和解决问题的能力”的前提是已经给出了“问题”，然后让学生去分析，去解决． 但人们在现代生活和生产中遇到的往往是变化万千的现实，甚至是困惑，并没有现成的“问题”，更没有像课本中那样已经抽像、概括好了的数学问题，所以人们首先要做的是从纷繁的现实中去发现问题，并通过抽象概括用语言把所发现的问题正确地表述出来，也就是提出问题． 发现问题、提出问题是进一步分析问题和解决问题的必须准备． 发现问题、提出问题的能力也是培养学生创新能力所必需的．

二、 要辩证地、整体地看待“四基”和“四能”

“基础知识”和“基本技能”就是传统数学一直被人们所关注的“双基”，在新学课程中它们有着重要的地位． 它既是学生发展的基础性目标，又是课程总目标的另外三个方面：“数学思考”“问题解决”“情感态度”得到落实的重要载体． “基本数学思想”是对数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括． 初中阶段涉及的基本数学思想主要有等量代换、数形结合、分类、归纳、类比、演绎、化归、模型等． 这些数学思想蕴涵在数学知识的发生、应用和发展的过程中．比如用代入法解二元一次方程组的过程中就蕴涵“等量代换”的数学思想． “代入消元”只是一种具体的方法和技能． 它抽象、概括成“等量代换”的数学思想后，它的意义就更广泛了，它告诉人们，数学模式中相等的量是可以互相替换的，这种替换能使数学模式得以改变，改变成使问题易于解决．

案例1 已知+=3，求代数式的值．

解：由已知，得y2+x2＝3xy， ＝＝＝6．

掌握了“等量替换”的数学思想，就会演绎出更多、更精彩的方法和技巧，比如上例中的整体代换，解方程中的换元法等． 数学思想区别于知识与技能的意义在于，它给人们的指导更广泛、更一般、更长远． 落实“双基”则是掌握基本数学思想的根本途径．

“基本活动经验”的获得是提高学生数学素养的重要标志． “基本活动”主要是指观察、猜想、实验、计算、作图、验证、证明等． 各种活动的经验都是在“做”和“思”的过程中积淀，在数学学习过程中逐步积累的．比如从抛硬币、摸球、旋转转盘等大量实验活动中我们获取了用事件发生的频率来估计概率的经验． 从大量的几何证明活动中我们获取了有关辅助线添法的经验、用反例证明一个命题为假的经验等等．“基本活动经验”的积累将使我们的数学学习和应用变得更有效．

“四能”是《标准（2011年版）》对课程目标在能力培养方面的高度概括，它涵盖了推理能力、运算能力和空间想象能力． 增强“发现和提出问题的能力”对于学生创造能力的培养有着特别重要的意义，另外应当注意，“四能”与“四基”是密切相关的，没有扎实的“四基”，增强“四能”就是一句空话．

三、 落实“四基”、增强“四能”还需要我们做点什么

从“双基”到“四基”，从“两能”到“四能”，对教师、对数学教学提出了更高的要求，我们可以从以下几方面做起。

1. 在主观意识上更加关注“数学思想”“活动经验”

我们应更加关注“发现和提出问题的能力”和“培养学生的创造能力”，只有这样，我们才能在教学内容、方法、评价等方面全方位、全过程地去实现《标准（2011年版）》关于课程的新目标． 记得一次中国与新加坡的数学教学交流活动中，新加坡的一位特级教师在宁波华茂外国语学校上了一堂全英文的数学课，这位教师选的内容是八年级上册第六章的“6.2平面直角坐标系”，我们本着好奇，请教了这位教师，问她为什么不上第六章中的“6.1探索确定位置的方法”，这位老师反问道：“我正想问你们呢，为什么要设置‘6.1’这节课？”可见教师原意识中占主导地位的还是“基础知识和基本技能”． 其实，把6.2节看做笛卡尔所创造的数学知识和技能，那么6.1节就是解决这种知识和技能怎样去发现、去创造． 它的意义在于培养学生的创造能力，在于如何造就更多的笛卡尔，如果在这一点上认识清楚了，我们就会准确地把握教材，有效地贯彻《标准（2011年版）》设定的“四基”“四能”的课程目标．

2. 精心设计教学过程，使学生理解各种数学思想的含义，并逐步学会应用

教材不可能把各种数学思想像叙述知识那样直接写在课本中，因为这样做学生无法吸收． 但教材会根据《标准（2011年版）》的要求把它们渗透在教学内容中，作为教师就需要在钻研教材的过程中把它们挖掘出来，通过合适的过程，让学生逐步感悟它们，掌握它们． 这个过程往往是漫长的，需要有计划、有步骤地进行． 比如，“数形结合”是一种十分重要的数学思想，它几乎贯穿整个初中数学教学内容． 在相关的教学过程中教师都需要点明这种数学思想，以及它在解决问题过程中的表现形式和作用． 例如，数轴是初中数学中最早出现的“数型结合”思想的体现，它的表现形式是用直线上的点表示抽象的数，它的作用是使许多抽象的数学概念、法则、规律变得直观，容易理解，为“数形结合”的进一步广泛应用奠定基础． 函数图象则是初中数学中最典型的“数形结合”，它的表现形式是用图形表示一个过程中变量之间的数量关系，它的作用是把函数的性质直观地表现出来，便于人们掌握和应用．

案例2 长方体形状水槽内装有 30cm高的隔板（如图1），由两个注水速度不相同的水龙头A和B向槽内注水． 水槽内水位的高度h与注水时间t的函数如图所示，其中折线O-A-B表示隔板左侧部分水位升高的情况，折线O-C-B表示隔板右侧部分水位升高的情况．

（1） 两个水龙头的放水速度分别为多少升/分？

（2） 求当t≥9分时，h关于t的函数解析式，并在图2中画出它的图象． 经过多少时间水槽被水注满？

简解：（1） 设隔板离左壁x cm,

可得9×+9×=80×120×30，解得x=40，由图2可得A龙头的放水速度为40×80×÷1000=24（升/分）.

（2） h=30+（t-9），得h=t,由 t≤60，得t≤18， 9≤t≤18.所以经18分钟灌满水槽，图象略．

从上例，我们可以看到“数形结合”在综合应用中的表现形式和作用，这样的范例有助于学生深层次地掌握“数形结合”的数学思想．

3． 加强数学活动

首先教师要保证学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理等活动过程，通过回顾、反思等途径帮助学生积累基本活动经验，在引导学生探索时注意如何激发学生的好奇心，诱导学生主动发现和发问．

案例3 我国古代数学家刘徽用“割圆术”算得π的近似值3.1416．所谓“割圆术”也就是把圆等分，用圆内接正多边形的周长来逼近圆的周长． （1）请你用“割圆术”求出圆周率的一个近似值（精确度不限）． （2）估计得出3.1416这个π的近似值至少要把圆几等分？你能求出一个精确度更高，精确到0.00001的圆周率的近似值吗？请说出你的方法和结果．

这个案例就给学生自己发现问题和提出问题留了较大的空间． 在寻求解法的过程中我们可以引导他们发现和提出问题，比如“用‘割圆术’求π的近似值具体是怎样进行的？”“如果用圆内接正n边形的周长来代替圆周长，那么可以得到关于π怎样的近似公式？”在解得π≈nsin后，再启发学生找到案例中两题的解法，这样的数学设计就有利于增强学生发现和提出问题的能力． 其中第（2）小题用计算器，经过多次试值可求得至少要把圆349等分． 这种试值法有着重要意义，可在回顾反思的过程中帮助学生总结出来，这也是一个基本活动经验的积累过程． 我们还可以进行如下的实践活动：让学生随机采集10片桂花叶子和10片茶花叶子，分别量出每片叶子的最大长和最大宽，得到4组数据，然后让学生算算每组数据的平均值、方差等． 如果单从获得“基础知识”“基本技能”的层面考虑，这已达到要求． 如果从增强实践和创新能力的层面考虑，我们还可以做得更好． 我们可以引导学生把叶子的形状和采集的数据联系起来，提出诸如以下这些问题：“最大长、最大宽这些数据能单独刻画叶子的形状吗？”“怎样的数据才能较好地刻画叶子的形状特征？利用现有的数据能构造出符合要求的新数据吗？”如果学生针对这些问题，在教师的指导下自主探索，最终发现“宽长比”的新数据的方差比“最大长”“最大宽”这些原有数据的方差小得多，从而发现了可以利用“宽长比”来刻画某些物种的形状，也就意味着我们这一数学活动的设计成功了．