覆盖圆问题探究两例

平面图形的最小覆盖圆问题是一类有趣且具有适用价值的问题，在中考中时有所见，现举两例与同学们共同探求其解题方法．

例1（2008年连云港）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．

（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；

（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆；

（3）中转站应建在EFH的外接圆圆心处．理由如下：

由∠HEF＝∠HEG+∠GEF＝47.835.1?2.9?

∠EHF＝50.0FH＝47.1?

所以EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为EFH的外接圆．

设此外接圆为O，直线EG与O交于点E，M,

根据同弧所对圆周角相等，知∠EMF＝∠EHF＝50.0?3.8?∠EGF．

故点G在O内，从而O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．所以中转站建在EFH的外接圆圆心处，符合题目要求．

例2（2008年无锡）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

分析：要找到4个安装点，可考虑将正方形四等份，分别覆盖即可；而要找到3或2个安装点，同样也应考虑将正方形三等份或2等份，通过实际动手操作和计算可解决.

解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为05＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．

（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE＝DG＝CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE＝x，则ED＝30－x，DH＝15．由BE＝DG，得

x2+302＝152+(30－x)2，解得x＝，BE＝≈30.2＜31，

所以安装3个这种转发装置，能达到预设要求．

也可将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE＝31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则

AE＝＝，DE＝≈26.8＜31，

所以安装3个这样的转发装置，也能达到预设要求．

如果用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设O经过A、B，O与AD交于E，连BE，则AE＝＝＜15＝AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD．

综上所述，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．