一元一次方程的应用

一、引言

本节是在接一元一次方程的基础上，讲一元一次方程的应用。让学生通过审题，根据应用题的实际意义，找出相等关系，列出有关一元一次方程，并通过探索生活中的一些实际问题，把一些实际问题转化为最有效的数学模型——方程，进而解决相关问题。这些为学生掌握基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，也对后续教学内容起到奠基作用。

二、一元一次方程应用的教材分析

1、本节主要内容

本节跨越前节由易到难安排了11道通过列出一元一次方程来解决的应用题。要把学生学过的有关知识应用到实际，要使学生初步使用代数中的方程去反映现实世界中的相等关系。

2、本节的教学要求

使学生会分析问题中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的相等关系，并学会如何把实际问题转化为数学问题，列出一元一次方程，并进行解答。

3、一元一次方程应用常见的几大类型

（1）和差倍分

这类问题主要是正确理解“是几倍”、“增加了几倍”、“增加到几倍”、“多”、“少”、“大”、“小”、“不足”、“剩余”等关键词语的意义。

（2）工程问题

工程问题有三个基本量：工作量、工作时间、工作效率，其基本关系为：工作量=工作效率×工作时间，一般情况下把全部工作量看作“1”。

（3）行程问题

行程问题中有3个基本量：路程、速度、时间，关系式为：路程=速度×时间[还可变形]。

（4）水上（空中）问题

此类型涉及四个量：静水船速、水速、逆水船速、顺水船速，基本关系为：顺水船速=静水船速+水速，逆水船速=静水船速-水速。

（5）数字问题

此类型关键在于数的表示方法，例如：一个三位数，个、十、百位上的数学分别是a、b、c，则这个三位数中表示为100c+10b+a.

（6）调配问题

此类型的下手点是从调配后的数量关系中找等量关系，但是要注意调动对象流动的方向和数量。

（7）比例分配问题

此类型最简单的方法是把其中一份设为x，再用公式“全部数量=各种成分的数量之和”，从而进行列方程解答。

（8）利润率问题

利润率问题中涉及四个量：商品利润率、商品利润、商品进价、商品售价，基本关系为：利润率=利润/进价×100%.

（9）探索性问题

此类型是把一些生活中的实际问题应用到题目中来，初步培养学生分析问题、解决实际问题、综合归纳整理的能力以及理论联系实际的能力。

4、本节应注意的问题

（1）使学生理解正确列出方程的关键在于弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的一个本节主系，并列出代数式表示这个相等关系的左边和右边。

（2）在设未知数和书写答案时如果有单位，必须带单位，同一式中的各量单位要统一。

（3）未知数一旦设出，就可以把它看作已知数和其它已知条件一样参与列代数式。

5、本节对于学生解答主要存在的困难

（1）抓不住相等关系。

（2）找出相等关系后不会列方程。

（3）习惯于用算术解法，对于代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。

解决这三个困难时重点应放在第一个，解决第三个困难应在本小节的教学中应反复告诉学生，有些问题用算术解法是不方便的，最好用代数解法，只要找出相等关系，用等式表示出来，就列出了方程，再利用解方程的方法，就可求出未知数的值。

6、典型例题

例1.有蔬菜地975公顷种植青菜、西红柿和芹菜，其中种青菜和西杠柿的面积比是 3：2，种西红柿与芹菜的面积比是5：7，种蔬菜各种多少公顷？

[分析]此题等量关系很明显

种青菜面积十种西红柿面积+芹菜面积=种值总面积.

但要把三者的面积比联系起来，必须通过种西红柿的面积来沟通.由此可知：种青菜面积︰种西红柿面积︰种芹菜面积=15：10：14

解：设每一份为x公顷，则种青菜面积为15x公顷，种西红柿面积为10x公顷，种芹菜面积为14x公顷.根据题意，得

15x+10x+14x=975

解方程，得x=25

15x=375（公顷），10x=250（公顷），14x=350（公顷）

答：种青菜面积为375公顷，种西红林面积为250公顷，种芹菜面积为350公顷.

说明：此例是按比例分配问题，如已知两个量之比为m：n，可设其中一份为x ，则两个量分别为mx，nx，再根据“各部分量之和=总量”的等量关系来列方程求解.

例2.一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，若先由甲单独做8天，再由乙单独做3天，剩下的由甲、乙两人合做还需要几天能完成？

[分析]这是工程类问题.假设整个工程的工作量“1”，则甲每天完成工程的1/20 ；乙每天完成工程的 1/30. 由题意可得相等关系为：甲独做工作量十乙独做工作量十甲、乙合做工作量=总工程量“1”.

解：设甲、乙两人合做还需x天完成，分析相等关系的左、右两边，可知，左边为：甲独做工作量=1/20 ×8，己独做工作量=1/30×3，甲、己合做工作量=（1/20+1/30）x；右边为：总工作量“1”。

设甲、乙两人合做还需 x天完成，根据题意，得

1/20×8+1/30×3+（1/20+1/30）x=1

解方程，得 x=6

说明：工程问题和工作问题类似，基本数量关系都是：工作量=工作效率×工作时间.但工程类问题一般不给出工作量，因此常把总工作量看作“l”，再找等量关系列方程组.

例3. 一个三位数，十位上的数比个位上的数大2， （下转161页）

（上接160页）百位上的数比个位上的数小2，而这三个数位上的数字和的17倍等于这个三位数，求这个三位数.

[分析]本题的相等关系为：

三个数位上数字和×17=原三位数.

此题的直接未知数是原来的三位数，若直接设为x ，就无法表示三位数的数位上数字之间的联系，所以要采用间接设法.可设个位上的数为x .关键在如何用x 分别表示原三位数中的百位、十位、个位上的数.

解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+2，百位上的数为 x-2.根据题意，得

17[（x+2）+x+（x-2）]=100（x-2）+10（x+2）+x

解方程，得 x=3

x+2=5，x-2=1

答：这个三位数是153.

说明：对于数字类问题要正确区分“数”与“数字”这两个概念。设未知数时应采用间接设法，但也不是把多位数的每个数位上的数都表示出来，有时要把某一部分看作一个整体来设未知数.

三、结束语

方程是初中代数的重要内容，许多实际问题都可以通过列方程、解方程来解决，因此我们要认认真真地学好方程的有关知识。这一小节题型很多，以上我只举了4例，只要审清楚题意，寻找好等量关系，找出一个适当的未知数，从而面对各种应用题目时就能迎刃而解了。