数形结合思想方法解决二次函数问题论文

内容摘要：数形结合是数学中的重要思想方法之一。在初中数学学习中，二次函数是中考的必考内容，但由于其综合性较强，使得学生难以理解和掌握。本文就近年来中考中有关二次函数试题如何运用数形结合的方法予以解决作以简单分类、归纳。

关键词：数形结合二次函数

数学家华罗庚说的好：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”可见数形结合是数学中的重要思想方法之一。

数量关系和空间图形是数学研究的两个主要方面，它们之间有密切的关系，在一定条件下，它们之间可以相互转化，相互渗透。

在初中数学学习中，函数是一个难点，尤其是二次函数的问题中，由于其综合性较强，更使部分同学觉得难以理解和掌握。其实，只要掌握了正确的方法，解决问题便会事半功倍。而解决二次函数问题时，数形结合便是一种重要方法。在这里，我们需要理解函数问题中x、y的双重含义：

代值计算时：x---自变量的值；y---函数值；（数）

在函数图像中：x---图像上点的横坐标；

y---图像上点的纵坐标。（形）

现就常见问题举例如下：

一．根据二次函数图像判断系数a、b、c的符号及相关代数式的值:

例1．二次函数的图象如图1所示，则

，，，，a-b+c.这五个式子中，

O

x

y

-1

1

值为正数的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

解析：

抛物线开口向上

a＞0①

抛物线的对称轴x=-b/2a位于y轴右侧，

-b/2a＞0又a＞0b＜0②

抛物线与y轴交点（0，c）位于y轴正半轴，

c＞0③

abc＜0⑴

由图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，

方程=0有两个不相等的实数根

＞0⑵

当x=1时，函数值y=a+b+c.

点（1，a+b+c）是抛物线上一点.

由图像可知,点（1，a+b+c）位于第四象限

a+b+c.＜0⑶

当x=-1时，函数值y=a-b+c.

点（-1，a-b+c）是抛物线上一点.

由图像可知,点（-1，a-b+c）位于第二象限

a-b+c.＞0（4）

由图像可知，抛物线的对称轴x=-b/2a位于数1的左侧，

-b/2a＜1，

a＞0

-b＜2a,0＜,即＞0（5）

综上所述，本题中符合要求的代数式共有三个，故选B.

方法归纳：在抛物线中：

①、a的符号决定抛物线的开口方向；

②、a、b联合决定抛物线对称轴的位置:

当a、b异号时，-b/2a＞0，对称轴位于y轴的右侧，

当a、b同号时，-b/2a＜0，对称轴位于y轴的左侧，

当b=0时，-b/2a=0，对称轴就是y轴；

为方便记忆，这一结论可简称为“左同右异”.

③、c的符号决定抛物线与y轴交点位置；

④、的符号决定抛物线与x轴交点个数；

⑤、与a-b+c.分别是x=1、-1时的函数值，观察x=1、-1时图像上点的位置即可得与a-b+c.的符号.

⑥、代数式、()符号判断，可先观察对称轴x=-b/2a与1、-1的大小关系，再对不等式进行变形就可得出。（去分母时要注意a的符号，看不等式是否改变方向）

二、二次函数图像的对称性：

一般的，二次函数（a≠0）图像关于直线x=-b/2a对称

（1）若图像上位于对称轴两侧的两点的纵坐标相等，则这两点关于抛物线的对称轴x=-b/2a对称，并且，这两点到对称轴的距离相等；

（2）若图像上两点关于对称轴对称，则其纵坐标相等。

例2（2008苏州）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：

…012…

……

根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时，．

答案：-4

解析：本题考查二次函数的对称性.根据二次函数的对称性可知，其对称轴为直线x=1,所以时的函数值与x=-1时相等，为-4.

三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

例3（07贵阳）二次函数的图象如下图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根．（2分）

（2）写出不等式的解集．（2分）

（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（2分）

图2

（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．（4分）

解析：（1）由图像可知，抛物线与x轴交与点（1，0）、（3，0），即当x=1或x=3时，y=0.所以方程的两根为x=1、x=3；

（2）即是y＞0，也就是函数图像上的点应位于x轴的上方。由函数图像知，此时相应的x取值范围是1＜x＜3,因此，不等式的解集是1＜x＜3；

（3）由图像知，抛物线开口向下，其对称轴为直线x=2，所以，当x＞2时，y随x的增大而减小；

（4）由已知，y=。在图像上，y=k是与y轴交与点（0，k）且平行于x轴的直线。

所以，当抛物线与直线有两个交点时，方程有两个不相等的实数根。因此，k＜2.

方法归纳：

（1）二次函数与一元二次方程：对二次函数，当y=0时，函数转化为一元二次方程。对函数图像而言，即点在x轴上。因此上，一元二次方程是否有解就转化为抛物线与x轴是否有交点，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；

（2）若函数值y＞0，即得一元二次不等式，此时，确定不等式的解集就转化为确定当抛物线上的点位于x轴上方时横坐标x的相应取值范围。

在解决二次函数问题时，只要掌握了正确的方法，就能正确、快速地进行解答。例如：2006年陕西省中考试题的第8题如图，抛物线的函数表达式是（）。

A．B．

C．D．

本题若采用设解析式，再将图像上三点坐标代入的方法求解，运算量很大；若根据图像的位置来确定各项系数的符号，则可以很快得出结论：

由于抛物线开口向下，所以a＜0,故选项A、C错误；

又因为抛物线的对称轴位于y轴右侧，故a、b异号，即b＞0,

所以选项C错误，选D.

数形结合方法是解决数学问题尤其是函数问题的一种重要方法。用图形可以使抽象的数量关系变得直观形象；而一些图形的性质，又可以赋予其数量意义，通过数量的运算使问题得到解决。希望大家在学习的过程中体会这一方法的应用，以提高自己分析问题、解决问题的能力。