自适应正则化反演研究

摘 要：大地电磁测深（MT）是一种以天然电磁为场源勘探地下介质的电性结构，它的原理是以不同频率电磁波趋肤深度来测量地表由高到低的不同电磁响应，MT正演问题是给定大地的地下结构参数，当平面电磁波垂直入射到大地表面时，求出在地面的电磁响应，而地球物理反问题一般情况都是不适定的，这需要我们增强反演结果的稳定性，所以文章简单介绍了正则化方法中的自适应方法，通过加入一个先验模型约束条件来减少反演结果的非惟一性，该方法是针对正则化因子选取困难而提出来的，它是在反演计算中对数据拟合和模型约束的折衷和平衡。

关键词：大地电磁测深；一维反演；自适应正则化；正则化因子

1 概述

自适应正则化反演算法发展有一段过程，它是针对正则化因子的选取困难而提出来的，我们都知道正则化因子其实是一个折衷因子，当？琢过大的取时，那么总目标数是模型约束为目标，数据总体欠拟合；当？琢取得过小时，总目标函数会以数据拟合为目标，忽略模型约束，所以如何正确的选取正则化因子直接会影响反演的结果。在正则化因子的选取上：

（1）前人更多研究的经验定值上，其中就包括两种方法：一是无偏风险估计，二是广义交叉验证方法，这种算法已经不满足于复杂的地下模型了。

（2）Hansen等提出了L曲线正则化方法，该方法的正则化因子选取比经验定值更近一步，因为正则化因子不是一个定值，认为最佳的正则化因子在该曲线的最大曲率，然而这种方法也有不足之处，它受到的初始模型的影响很大。

（3）Costable等提出的occam反演，它是选取不断靠近数据拟合期望值最大的正则化因子，不过该方法也受初始模型影响较大，不仅如此该方法还存在运算量大的问题，在反演迭代过程中还得正演多次。

（4）经过地球物理学者多年的研究和努力，新的正则化的反演方法不断出现，其中就有正则化因子的选取自适应调节，最著名是陈小斌等提出来的正则化因子是按CMD进行选取，该方案是完全自适的，每次迭代选取数据拟合函数与模型约束函数的比值为正则化因子，该方法的有点在于每次迭代的正则化因子都在调节数据拟合和模型约束的平横，具有较高的稳定性。相对于这种正则化因子的选取方案。

2 原理

正则化反演的方法是通过正则化方程建立起来的，1977年，吉洪诺夫提出了正则化方程如下[6]：

上式中式中p？琢（m）是总目标数，？准（m）是观测数据目标函数，S（m）是模型稳定约束目标函数，？琢是正则化因子（权重因子）。上式中观测数据目标函数也就是观测数据和预测数据的差平方，求取的方法采用模拟退火的迭代的方法。等式的后一项模型约束函数S（m）就是我们所提到的先验模型约束条件，有三种不同的构建方法，一是最简文P停二是最平缓模型，三是最光滑模型，本文主要是陈小斌等提出来的每次迭代利用数据目标函数与模型约束函数的比值，采取正则化因子完全自适应，不必从外面输入正则化因子，算是一种理想的自适应条件的方法了。这种方法稳定性强，收敛快，在MT反演中可行性很高。

3 模型试验

本次是采用的三层Q型地电模型，将自适应正则化和无正则化两种反演方法来这两进行比较，假设反演计算的原始数据是由正演得到，厚度其模型参数设置为：各层的电阻率和？籽1=1000？赘・m，？籽2=300？赘・m，？籽3=50？赘・m，h1=50m，h2=1000m，频率的 与 之间。图（a）可知深部低阻能较好的反映出来，反演模型与原始模型曲线拟合很好。

通过在正演模型设置的基础上，运用了自适应正则化反演方法来反映地下电性结构，并取得了良好的反演结果，在不断反演迭代过程中寻找到最佳正则化因子，自适应方法的优点是无需输入任何外部经验值，只要是数据目标函数和模型约束函数达到一个平衡，且都趋于极小化就可以了。这种方法更加能使得反演的结果更加稳定并提高了解得唯一性。对比与无正则化反演结果，自适应正则化反演明显有很大的优点。

4 结束语

在众多大地电磁测深反演算法的中，如何提高反演结果的稳定性和降低解的非唯一性，作者研究了很多的文献之后，正则化反演的目前运用的较广泛，在选取正则化因子，在已有的算法中大多选取的是取经验定值，而陈小斌等提出来的正则化因子选取的方法是自适应，该方法以全新的解决手段来优化反演算法。通过本文的自适正则化反演模型分析，在所定的迭代范围内，能快速稳定确定反演数据。

参考文献

[1]陈小斌，赵国译，汤吉.大地电磁自适应正则化反演研究[J].地球物理学报，2005：937.

[2]陈晓，于鹏，张罗磊，等.地震与大地电磁测深数据的自适应正则化同步反演[J].地球物理学报，2011：402.

[3]吴小平，徐果.利用共轭梯度方法的电阻率一维反演研究[J].地球物理学报，2000：153.

[4]刘国栋，陈乐寿.大地电磁测深[M].北京地震出版社，1984.

[5]Hansen PC. Analysis of discrete ill-posed problem by means of the the L-curve.Siam Review，1992.

[6]吉洪诺夫.不适定问题的解决[M].王秉忱译，北京地质出版社，1979.

[7]师学明，王家映.一维层状介质大地电磁模拟退火反演算法[J].地球科学――中国地质大学学报，1998：67-89.

[8]底青云，王若.可控源音频大地电磁数据正反演及方法运用[M].北京科学出版社，2008.

[9]何宝侃，等.地球物理反问题中的最优化方法[M].北京地址出版社，1980.

[10]陈乐寿，王光锷.大地电磁测深法[M].北京：地质出版社，1990.