明查导数考点推测2009形势

导数是高中数学选修内容中的亮点，不仅可以“独树一帜，交汇其他”，而且还能作为解题工具，大显神威，因此在每年的高考中它独领，新题不断. 这部分知识在大纲高考卷中占全卷的12%左右；在新课标高考卷中，由于考点增多，分值略有下降，占全卷的10%左右，同时以解答题的形式居后，达到区分同学们能力高低的目的.

考点猜想

1． 函数单调性与恒成立

导数与函数单调性的关系如下：f ′（x）>0⇒f（x）为增函数，但反之不一定成立；当f ′（x）≠0时，f ′（x）>0⇔f（x）为增函数；f（x）为增函数⇒f ′（x）≥0，但反之不一定成立． 对单调性的考查一直是高考的重点．

模拟题1已知g（x）=lnx－x3－bx2－2（b∈R）在区间（0，1）上是增函数，求b的取值范围．

简析因为g′（x）=－3x2－2bx， 又因为函数g（x）在区间（0，1）上是增函数，所以g′（x）=－3x2－2bx≥0在区间（0，1）上恒成立，即b≤－x在区间（0，1）上恒成立． 令φ（x）=－x，则φ′（x）=－－φ（1）=－1. 所以b

当b=－1时，g′（x）=－3x2+2x=>0在区间（0，1）恒成立，符合题意． 综上可得b的取值范围为b≤－1．

点评根据单调性，用导数求参时，常转化为恒成立问题，此时需根据不等式巧构函数，并利用“若f（x）>a恒成立，则a

同类题1已知f（x）=x3－2ax2－3x（a∈R），若f（x）在区间（－1，1）上是减函数，求实数a的取值范围．

2． 求函数的极值及最值

由f ′（x）=0不能得到x0一定为极值点；但是，若x=x0是连续函数的极值点，则一定满足f ′（x）=0；可导函数f（x）在闭区间［a，b］上的最大值为极大值和 f（a），f（b）中最大的一个，最小值为极小值和f（a），f（b）中最小的一个．

模拟题2已知m为常数，函数f（x）=－x2+8x，g（x）=6lnx+m.

（Ⅰ）函数F（x）=x3+f（x）的极值是否存在，若存在，求之；若不存在，请说明理由.

（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

（Ⅲ）若函数h（x）=g（x）－f（x），求h（x）在x∈（0，e2］上的最值．

简析（Ⅰ）F（x）=x3－x2+8x，F ′（x）=x2－2x+8=（x－8）2≥0. 此时虽然F ′（8）=0，但函数y=F（x）在x∈R时单调递增，所以y=F（x）在x∈R时没有极值点，即没有极值．

（Ⅱ）易知g（x）－f（x）=x2－8x+6lnx+m=0有三个不同的实数解． 令φ（x）=x2－8x+6lnx+m（x>0），则φ（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点． 又因为φ ′（x）=2x－8+==（x>0），所以当x=1或x=3时，φ ′（x）=0；当x∈（0，1），x∈（3，+∞）时，φ ′（x）>0，φ（x）单调递增；当x∈（1，3）时，φ ′（x）0，

φ（x）极小值=m+6ln3－15

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，h（x）极大值=h（1）=m－7，h（x）极小值=h（3）=m+6ln3－15，h（e2）=e4－8e2+12+m.

当x0+时，φ（x）－∞，故h（x）没有最小值，只有最大值为h（e2）=e4－8e2+12+m.

点评利用导数研究函数，思路更开阔；要求极值，必验单调性，否则易产生增根；运用导数探讨函数图象的交点，将交点个数与方程的根等价转化，是解题的要点． 非闭区间内求最值，数形结合是精髓．

同类题2已知函数f（x）=－x2+8x与g（x）=6lnx+m的图象有且只有两个不同的交点，求实数m．

3． 导数与其他知识交汇

导数既具有代数特征，又能描述几何形状，故其与函数、三角函数、平面向量、不等式、数列、解析几何等知识的交汇以及在实际生活中的应用，是高考压轴题的首选. 这类题目重点考查等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程等数学思想和“巧构函数，最值转换”等分析问题、解决问题的能力．

模拟题3 已知函数y=f（x）满足y+2f ′（1）－ln（x+1）=1．

（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；

（Ⅱ）已知各项不为0的数列｛an｝满足=an，求证：－

（Ⅲ）设bn=－，Tn为数列｛bn｝的前n项和，求证：T2 009－1

简析（Ⅰ）y=f（x）=ln（x+1）+1－2f ′（1），f ′（x）=. 所以f ′（1）=，即f（x）=ln（x+1）．

（Ⅱ）易得2Sn=an-a． 所以当n≥2时，2Sn-1 =an-1 -a． 两式相减得（an+an－1）・（an－an－1+1）=0，所以an=－an－1或an－an－1=－1．

当n=1时，2a1=a1-a⇒a1=-1. 若an=－an－1，则a2=1与an≠1矛盾． 所以an－an－1=－1，所以an=－n． 于是，待证不等式可转化为

为此，考虑不等式0，则t>1，x=. 不等式等价于1－

（i）令g（t）=t－1－lnt，g′（t）=1－，由t∈（1，+∞）知g′（t）>0． 所以当t∈（1，+∞）时，g（t）>g（1）=0. 故t－1>lnt，即

>ln，x>0. ①

（ii）令h（t）=lnt－1+，由t∈（1，+∞）知h′（t）>0． 所以当t∈（1，+∞）时，h（t）>h（1）=0. 于是lnt>1－，即

ln>，x>0.②

由①②可知

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知bn=， 则Tn=1+++…+． 在

…+ln

点评本题以导数为切入点，涉及函数、数列、不等式等众多知识点，体现了新高考在知识交汇处命题的思想． 解决此题，要求同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力和一定的探索、推理、构造、转化的能力． 其中将不等式

同类题3已知函数f（x）=ln（2+3x）－x2. 若对任意x∈