借助MATLAB软件理解初等复变函数

摘 要：复变函数由实部和虚部两个二元函数组成，其图形需要在四维空间中显示，与二元实变函数相比，复变函数相对不容易理解，并且一些复变函数有着与实变函数截然不同的特征。借助MATLAB软件将复变函数可视化，使抽象问题具体化、直观化，从而加深学生对复变函数特征的理解。

关键词：MATLAB；复变函数；可视化

复变函数理论是本科阶段的重要知识点。与实变函数相比，复变函数由两部分组成，即实部和虚部两个二元函数，因此需要在四维空间中显示复变函数的图形。与二元实变函数相比，复变函数相对不容易理解，而且，一些复变函数有着与实变函数截然不同的特征。如正弦和余弦函数的模可以大于1，并且是无界函数；对数函数和根式函数为多值函数等[1-3]。利用数学软件MATLAB功能强大的绘图功能，将复变函数可视化，利用图像展现复变函数和实变函数之间的差异，使抽象问题具体化。对于MATLAB软件，编写复变函数可视化的语言规则和命令可以从很多教材和论文中获得[4]，这里不作介绍，直接讨论图形化结果。本文将分别讨论几种常见的初等复变函数，在笛卡儿坐标空间中分别画出复变函数、复变函数的实部和虚部的图形，阐明复变函数图形的特征。

1 MATLAB软件将复变函数图形化的方法

为了借助MATLAB软件理解复变函数不同于实变函数的某些特征，有必要先弄清MATLAB软件将复变函数图形化的方法。用x―y平面表示自变量的平面，并将x―y直

2 几种初等复变函数图形

2.1 单值复变函数―正弦函数

2.2 多值复变函数―对数函数和根式函数

复数范围内的对数函数Log（z）和根式函数与实数范围的差别主要有两点：①负数的对数和开方是有意义的。若y=0，则z=x，当x为负数时，从图3a和图4a中我们可以看出，此时z的对数和平方根均存在。②对数函数和根式函数均为多值函数，多值的原因在于辐角的多值性。在图3b和c中，对数函数的实部仍为单值函数，但是，其虚部对应于复平面上某一点存在无穷多个值（图中只显示部分值），相邻值之间相差2π。既然其虚部是多值函数，所以从该图形可以判断对数函数是多值函数。对数函数的代数式为：

3 结束语

笔者介绍了正弦函数、对数函数和根式函数等几个初等复变函数，借助MATLAB软件分别画出了初等复变函数自身及其实部和虚部的图形。借助MATLAB软件，不但可以让学生从直观上更好地理解初等复变函数与实变函数的不同之处，而且可以增加课堂教学的生动性，对复变函数论的教学具有一定的意义。

参考文献

[1] 梁昆淼.数学物理方法[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 吴崇试.数学物理方法[M].第二版.北京：北京大学出版社，2003.

[3] 汪德新.数学物理方法[M].第三版.北京：科学出版社，2007.

[4] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京：清华大学出版社，2004.