当心统计初步应用中的“陷阱”

统计知识在现实生活中和科学研究中有着广泛的应用,也深受中考命题者的青睐.下面针对这部分知识在解题中容易产生的错误,举例剖析如下.

一、总体、个体应用中的陷阱

例1 (2009年呼和浩特考题)为了解我市参加中考的15 000名学生的视力情况,抽查了1 000名学生的视力进行统计分析.下面判断正确的是().

A.15 000名学生是总体

B.1 000名学生的视力是总体的一个样本

C.每名学生是总体的一个个体

D.上述调查是普查

错解:A.

错因分析:在表述总体和样本时,不仅要指出考察对象的数量,而且还要指出考察对象的属性.错解中只指出了总体的数量,而没有指出总体的属性.

正解:B.

点拨:解答本题的关键是正确区别总体、个体、样本及样本容量的概念和含义,在解决问题时能根据实际情况找出考察对象.

二、抽样调查应用中的陷阱

例2 (2009年杭州考题)要了解全校学生的课外作业负担情况,你认为以下抽样方法中比较合理的是().

A.调查全体女生

B.调查全体男生

C.调查九年级全体学生

D.调查七、八、九年级各100名学生

错解:C.

错因分析:在收集数据时,采用随机抽样的方法所抽取的数据才具有代表性,“调查九年级全体学生”,样本选取比较特殊,所以这样的样本不具有代表性.

正解:D.

点拨:本题主要考查全面调查与抽样调查的区别.全面调查的优点是可靠、真实;抽样调查的优点是省时、省力、减少破坏性.对于不同的调查对象,可根据实际问题的性质及需要采用不同的调查方式.

三、平均数、中位数和众数应用中的陷阱

例3 (2009年吉林考题)某校七年级有13名同学参加百米竞赛,预赛成绩各不相同,要取前6名参加决赛,小梅已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这13名同学成绩的().

A.中位数B.众数

C.平均数D.极差

错解:C.

错因分析:题中的平均数只能反映13名同学参加百米预赛的平均水平,无法决定前6名参加决赛同学.由于预赛成绩各不相同,只要知道排在前6名的同学的成绩即可,故只须考虑中位数.

正解:A.

点拨:中位数、众数和平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数,它们反映了不同的样本数据的特征.中位数是将数据按大小排列后位于中间的数据,如果数据的个数为偶数,就取中间两个数的平均数.中位数是样本数据中排在中间的数据的信息,是样本数据所占频率的分界线,不受少数几个端点值的影响.

四、方差和标准差应用中的陷阱

例4(2009年长沙考题)甲、乙、丙、丁4人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数均是9.2环,方差分别为s2甲=0.56,s2乙=0.60,s2丙=

0.50, s2丁=0.45 ,则成绩最稳定的是().

A.甲B.乙C.丙 D.丁

错解:B.

错因分析:对方差概念的理解错误.方差的大小反映一组数据偏离平均水平的量,方差越大,数据波动越大.

正解:D.

点拨:方差是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,方差越小的,波动越小,即与其平均值的离散程度越小,数据越稳定.

五、频数分布应用中的陷阱

例5 (2009年丽水考题)一次测试九年级若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图1所示.请根据直方图回答下面的问题:

(1)求参加测试的总人数,以及自左至右最后一组的频率;

(2)若图1中自左至右各组的跳绳平均次数分别为137次,146次,156次,164次,177次.小丽按以下方法计算参加测试学生跳绳次数的平均数是(137+146+156+164+177)÷5=156.请你判断小丽的算式是否正确,若不正确,写出正确的算式(只列式不计算);

(3)如果测试所得数据的中位数是160次,那么测试次数为160次的学生至少有多少人?

图1

错解:(1)50,12÷50=0.24;

(2)正确;

(3)18.

错因分析:(2)(3)答案错误,对平均数公式及频数的概念理解有误.

正解:(1)50,12÷50=0.24;

(2)(137×4+146×6+156×8+164×20+177×12)÷50.

(3)已知组距为10,第四组前一个边界值为160,第一、二、三组的频数和为18,总人数为50,中位数为160,所以有50÷2-18+1=8.

即测试次数为160次的学生至少有8人.

点拨:频数分布直方图可直观、形象地表示出每个小组的频数(长方形的高),清楚地显示各组频数分布情况及差别.

例 6 (2009年淄博考题)时代中学举行了一次科普知识竞赛,满分为100分,学生得分的最低分为31分.图2是根据学生竞赛成绩绘制的频数分布直方图的一部分.参加这次知识竞赛的学生共有40人,则得分在60~70分的频率为___.

图2

错解:得分在60~70分的频率为4.

错因分析:混淆频率与频数的概念.

正解:得分在60~70分的频数为40-(1+2+3+10+14+6)=4,频率为=0.1,所以得分在60~70分的频率为0.1.

点拨:掌握频率与频数的概念是不出错的关键.

六、统计图应用中的陷阱

例7图3是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图.根据统计图,下面对全年食品支出费用的判断正确的是().

A. 甲户比乙户多

B. 乙户比甲户多

C. 甲、乙两户一样多

D. 无法确定哪一户多

图3

错解:B.

错因分析:扇形统计图反映的是部分占总体的百分比,本题的两个扇形统计图分别反映两家食品支出费占各自的总支出的百分比.由于不知道各户的总费用,所以根据两个扇形统计图中的百分比大小,无法比较食品支出的具体费用的多少.

正解:D.

点拨:扇形统计图只反映部分与总体的百分比的大小,在没给出总体数值的情况下不能比较大小.

例8 如图4,给出了两种不同品牌的药3年内的价格变化,根据统计图分析哪一种药的价格增长较快?

错解:从甲、乙两折线统计图来看,甲上升的趋势快,所以甲种药的价格增长较快.

错因分析:从两个统计图中的数据可以看出,从2003年到2005年,甲种药价格上升了20元;乙种药价格上升了40元,乙种药的价格增长快.这与图像给人的感觉不一致,原因在于两个统计图中纵坐标轴上同一单位长度所表示的意义不同,甲图中价格增长10元看起来比右图中的20元还多.

正解:乙种药价格增长较快.

点拨:从统计图中获取信息时,不能根据表面现象简单地判断,而是要抓住统计图的实际意义.