“错误”是数学教育教学中的一笔重要资源

摘 要：在学生的学习过程中经常会犯各种各样的错误，这些“错误”是学生自己“创造”出来的宝贵教育教学资源.就如何挖掘“错误”的教育教学价值谈几点做法.

关键词：数学教学；“错误”；教学价值

在数学教学中，我们常遇到学生出现的一些“错误”，如对概念、定义理解的错误，对公式、定理应用的错误，对解题策略方法的错误等.因此，我们要重视学生的“错误”，充分挖掘“错误”的教育教学价值，善于把这些“错误”转化为教育教学的资源，在“错误”的基础上取得教育教学实效.

一、利用“错误”教育资源，培养学生正确的人生态度

课堂上常常会见到下面这种现象：教师提出问题，希望学生就此问题发表看法时，经常会发现学生将目光回避老师，低头不语，他们的神情表明他们不愿发表自己的想法.因此，当学生回答错时，教师要发挥自己的教育智慧，对学生回答中的闪光之处给予肯定和鼓励，让他们下次还勇于满怀信心地发出自己的声音.

一次，在课堂上做这样一道习题：已知圆O1：x2+y2=1和圆O2：x2+y2+10y+16=0都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程.

请一个学生在黑板上写出他的解题过程，他是这样解的：

圆O2：x2+y2+10y+16=0，即为x2+（y+5）2=9，所以圆O2的圆心为O2（0，-5），半径r2=3.

而圆O1：x2+y2=1的圆心为O1（0，0），半径为r1=1.

则O1M=r-1，且O2M=r-3，所以O1M-O2M=2；故点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为2的双曲线，其轨迹方程为：（y+）2-=1.

当时有的学生对此表示认同，有的提出异议，经过分析，发现错在将O1M-O2M=2看成│O1M-O2M│=2，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是对双曲线概念理解不透所致，事实上，O1M-O2M=2表示动点M到定点O1与O2的距离差为一常数2，且O1O2=5>2，故点M的轨迹为双曲线下支，方程为：（y+）2-=1（y≤-）.

纠错后，教师首先对学生能有勇气到黑板上写出自己的解题过程及解题过程中可取之处给予肯定，提高学生自信心.另外，应让每个做错的学生看到解错的不只是自己，不必妄自菲薄.而且，让学生从“错误”中领悟“不经历风雨，怎能见彩虹”这个简单而有诗意的人生哲理.

二、利用“错误”教学资源，培养学生严谨的思维品质

教学中发现学生出错时，正确的处理方法不是简单地告诉正确结论就了事，应对错误作出具体分析，设法使学生看到认知冲突之所在，从而使认知结构更合理，思维更严谨.

例如，实数列{an}的前项和为Sn，有下列几个命题：

①若{an}是等比数列，且anam=apaq，（m，n，p，q∈N*），则m+n=p+q；

②若{an}是等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等差数列；

③若{an}是等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列；

④若{an}是等比数列，则数列{Sn}可能是等比数列.

其中正确命题的序号是（ ）

A.②④ B.②③④

C.①②③④ D.①②③

有的学生认为A对，有的学生认为B对，他们的意见分歧就在命题③，教师请持不同意见的甲、乙两个学生陈述他们的理由，认为③对的甲同学说：设{an}的公比为q，则Sn=，S2n-Sn=-=qn，同理得S3n-S2n=q2n，故Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是公比为q的等比数列.认为③不对的乙同学举例反驳：如数列1，-1，1，-1，…是公比为-1的等比数列，但S2=0，S4-S2=0，S6-S4=0，可见S2，S4-S2，S6-S4不能构成等比数列，认为③对的同学意识到他们的判断是错的.至此，教师继续引导大家分析甲同学的判断有何不妥，分析后他们认为：（1）甲同学只用了等比数列在公比q≠1时的求和公式sn=，没考虑q=1的情形，思维不严谨；（2）当q=-1且n为偶数时，Sn=0，S2n-Sn=0，S3n-S2n=0，此时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…不能构成等比数列.教师继续问：“那么命题③作何补充可以成为真命题呢？”学生对这一问题反应热烈，并作出准确回答.

在教学中，我们经常遇到上述情况，教师引导学生纠错的过程就是调整认知结构使思维严密的过程，从而使学生思维的严谨性得到训练，培养了学生严谨的思维品质.

三、利用“错误”教学资源，培养学生辨别意识，提高辨别能力

教育心理学指出：“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息.”错解的剖析，不仅能深化对知识的理解，还可以使学生以批判的眼光看待问题，提高独立思考的能力，不人云亦云.

例如，计算（）10

解法1：（）10=[（）3]=1=1

解法2：（）10=（）9+1=（）9（）=[（）3]3（）=

这两个结果鲜明的对比，使学生的认知发生强烈冲突，通过师生剖析，学生认识到幂的运算性质（am）n=amn在复数集中成立的条件是m，n均为整数.通过这样的纠错教学，清理了学生隐蔽的思维障碍，调整了认知结构，培养了辨别意识，提高了辨别能力.

四、利用“错误”教学资源，培养反思意识，提高反思能力

在解数学题时犯错误的机会很多，解题后的反思是检查错误的重要方法，也是形成反思习惯、提高反思能力的重要途径.

例如：已知直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y-2m=0与直线x-y=1平行，求m的值.

解：由=≠得m=1或m=-1.

若不加反思，很可惜答案是错的.事实上我们反思一下，当m=1时，第一条直线的方程变为0=-2，这不可能；当m=-1时，两直线重合.可见，反思确实是检查错误的一面“镜子”，反思的过程就是精益求精的过程.

每个学生都有着自己独特的认知结构，他们以自己的方式建构自己对知识的理解，所以在学习过程中，犯错通常是不可避免的.学生在学习中所犯的“错误”是宝贵的教育教学资源，教师要善于挖掘“错误”的教育教学价值，使学生能在错误中获得丰厚的收益，提高教育教学实效.

（作者单位 广东省开平市风采中学）