关于新课程背景下下数学猜想的探讨

课程改革要求要重视培养学生的创新思维、学习兴趣，数学猜想作为一种途径和方法越来越受到重视，无论是教材课程标准的要求，教材的编写，还是一线教师的教法改革都为数学猜想注入了生机。然而谈到数学猜想，人们的理解大多还是像哥德巴赫猜想，庞加莱猜想，四色定理等比较高深、新奇的数学猜想，这不免让人觉得数学猜想非常神秘，高深莫测，非常人所能做。之所以有这样的理解归咎于对数学猜想缺乏真正的理解和深入的思考，本文旨在讨论一下数学猜想的普遍性。

猜想 含义 特点 类型

一、数学猜想的含义

许多专家学者认为严格意义上的数学猜想是指数学新知识发现过程中形成的猜想；广义的数学猜想是在数学学习或解决问题时展开的尝试和探索，是关于解题的主导思想、方法以及答案的形式、范围、数值等的猜测。包括对问题结论整体的猜想，也包括对某一局部情形或环节的猜想。中小学阶段学生的数学猜想，即学生依据已有的数学知识，已掌握的数学思维方法，对数学问题各个部分的合情推理，如对解题的主导思想、方法，问题结论以及结论成因的合情推断，并对所做的推断进行科学的检验。

二、数学猜想的特点

数学猜想不是凭空胡乱的猜，而是根据已有的科学事实和知识运用掌握的数学思想和方法所作出的，具有科学性；数学猜想具有多样性，数学猜想包括对解题思路，解题方法的猜想，对结论、条件的猜想；数学学科严谨性的特点要求所有的猜想必须经过严格的验证才是正确的；解法的多样性，多个结论的得出都体现了思维的灵活性，发散性，对错误猜想的质疑、批判都反映着创新的特征。

从数学猜想的含义和特点来看，数学猜想本身不是神秘的，它是发生在一定的数学知识的基础之上的，由于数学知识储备量的差异也就造成了所作出数学猜想的层次不同。数学猜想可以是数学家研究型的猜想，也可以是中小学生学习型的猜想，甚至也可以是四五岁的孩子做出的。

比如：一个已经会写1到10的数字的幼儿园孩子，示范11，12，13的写法，再引导其观察这三个数的结构特征，这个孩子可以自己写出14到19的数学的。这个过程也是数学猜想。只不过数学家的猜想更高级点而已，但从数学猜想的含义上讲他们都是数学猜想。从这个意义上讲，对于数学家而言，数学猜想是一种研究数学的方法；而对于中小学生来说，数学猜想是一种学习数学的方法。

三、数学猜想的类型

1.类比性猜想。运用类比方法，通过比较两个对象或问题的相似性部分相同或整体类似，得出数学新命题或新方法的猜想叫类比猜想。它是一种从特殊到特殊的推理方法。上部分所述学写数字的数学猜想就是一例。中学数学教材中也不乏这样的例子。如在学习“有理数的乘方的意义”时，先回顾“乘法”的意义，通过类比不难理解和记忆乘方的意义。又如；学习“等腰梯形中位线定理”时，让学生操作，马上会回忆原先学习“三角形中位线定理”时的情形，从而促进新定理的学习。在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，类比都是产生猜测，获得命题的推广和引申的原动力。数学学习中，灵活运用类比的方法，可以沟通知识间的联系，更容易理解掌握新知识。从这个意义上说，类比猜想也是学习数学的一种方法。教师如能这样理解便会将这种方法纳入到自己的教学当中，从而潜移默化的让学生学会运用类比猜想的方法学习数学。

2.归纳性猜想。对研究对象或问题从一定数量的特例进行观察、分析，应用不完全归纳法得出有关命题的形式、结论或方法的猜想，叫归纳猜想。在解题中归纳猜想可以发现解题思路，发现知识间的内在联系，从而获得超越原有知识的认识水平。

归纳猜想：13+23+……+n3=（1+2……+n）2

如：山东青岛有这样一道中考题：四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论。

（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如左图），其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看。

已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如左图）；

求证：SOBCSOAD=SOABSOCD.

（2）在三角形中（如右图），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由. 1BODOCFAE

SAOBSCOD=SAODSBOC.

（2）根据“乘除乘方不改变”能猜想到：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等，或SAODSBOC=SAOBSDOC

其证明可通过（1）题类比求解。在数学解题和数学知识的学习中，由归纳猜想发现解题思路，发现知识间的内在联系，从而获得超越原有知识的认识水平。

3.直觉性猜想。直觉猜想是指在整体观察和细部考察的结合中发现事物的内在规律，做出直觉判断和猜想。数学教材中的许多概念、性质、判定等知识，都是通过观察具体图形或实物模型和动手实验，根据自己的观察实验，在感性认识的基础上提出合理的猜想。如：利用拼纸的方式得出三角形的三内角和为180度这一结论。这种知识的呈现方式让学生通过直观感受猜想出结论，正是符合了初中学生的认知水平的。

以上三种数学猜想是中学数学中主要的数学猜想方法。从中不难看出，数学猜想可以作为学习数学的方法教给学生。

培养学生的创新思维，创新能力，以及提高学习数学的兴趣是时下教学改革中的热点，数学猜想作为培养创新思维，创新能力的方法备受教学研究者和教学实践工作者的推崇。然而创新思维，创新能力的培养是个广阔的大课题，诚然通过数学猜想提高创新能力，但是否是短期内可达到的，或者说对于实际教学的帮助有多大，恐怕没有理论上那么如意。这一实际问题促使在实际教学中难易将数学猜想进行到底。如果把数学猜想作为学习数学的方法，不仅会受到教师的认同，也会让学生心悦诚服。让我们从数学学习方法的角度来教和学数学吧。