数量化方法拟合利率期限结构研究综述

摘要: 利率期限结构是市场风险定价、计量和风险预测的标准，因而受到广泛关注和运用。目前在这方面已经作了相当多的研究工作，所使用的模型和工具日趋复杂。将利率期限结构模型划分为两类，重点对利率期限结构的数量化估计方法进行理论研究综述，并做简单对比分析。

关键词: 利率 利率期限结构 市场风险

一、引言

在利率期限结构研究的文献中，利率期限结构模型可以被划分为两类：第一类为理论模型，例如以J.C.Cox、J.E.Ingersoll 和S.A.Ross（1985）[1]提出的CIR模型为代表的均衡模型；以Thomas.Y Ho和Sang-bing.Lee（1986）[2]提出的Ho-Lee模型为代表的无套利模型；以Heath、Jarrow和Morton（1992）[3]推广和扩展Ho-Lee模型提出的HJM模型。这类模型都要求债券市场有效，市场保持瞬时的无套利性，均是风险中性世界中的利率变动行为。上述模型的严格假设与复杂的形式大大限制了其应用性。第二类为数量化方法，其核心思想是使用不同类型的数学函数逼近描述利率期限结构，例如B-spline模型、指数样条模型、Hermite多项式插值模型、Nelson-Siegel模型、Svensson模型等。这类模型主要是被作为一种利率期限结构的拟合工具被提出来的，即利用市场上可以观测到的债券价格数据来拟合隐含的利率期限结构。David Jamieson Bolder和Scott Gusba（2002）[4]将该类模型划分为两类。一类是基于多项式的样条模型，包括McCulloch（1971）样条方法及Fisher，Nychka和Zervos（1994）、Waggoner（1997）、Anderson 和Sleath（2001）分别扩展McCulloch（1971，1975）的模型等。另一类是基于函数模型，包括Vasicek和Fong（1982）、Nelson 和 Siegel（1987）、Svensson（1994）、Li et al（2001）Merrill Lynch Exponential Spline（MLES）模型等。

截止目前，数量化方法已经在多数国家中央银行得到广泛的应用（见下表1）。非常有趣的是，从表中可以发现，不同国家使用了不同的估计方法，甚至有些国家中央银行在不同历史时期采用了不同的估计方法，这可能折射出不同国家中央银行由于经济环境的变化，以往的估计方法可能失效，而采用另外的估计方法。例如英国在1982年1月至1998年4月期间使用了Svensson模型，其它时间期间则采用变量粗糙惩罚项方法（VRP）。比利时国家中央银行则将Svensson 和Nelson-Siegel混合使用。瑞典国家中央银行则将平滑样条（Smoothing splines）和Svensson模型一起使用。中国中央银行（中国人民银行）并没有确定利率期限结构的估计方法，而是建议国内商业银行使用中央国债登记结算有限责任公司采用的估计方法，即单调三次Hermite多项式插值（Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial）模型。

为进一步加强银行业金融机构市场风险管理，中国银监会于2007年6月15日了《中国银监会关于建立银行业金融机构市场风险管理计量参考基准的通知（银监发[2007] 48号）》。根据《通知》要求，各银行业金融机构应自2007年10月第一个工作日开始，将自行编制或第三方的人民币债券收益率曲线计量盈亏数据与中债收益率曲线的数据进行比较，并依据规定向银监会提供差异报告。各行用于市场风险管理的收益率曲线的构建模型应适应债券市场多变的收益率形态，并满足光滑性和稳定性的要求。

二、国外研究综述

Kalman J.Cohen, Robert L.Kramer 和 W.Howard Waugh（1966）[5]最早运用样条函数研究美国国债收益率曲线，他们设定贴现函数时采用非线性形式，而在计算系数时却使用线性回归，方法上存在错误。McCulloch（1971）[6]以Weiestrass定理为基础首次使用样条函数逼近拟合利率期限结构，这种方法要求指定样条基函数，将贴现函数表示为基函数的线性组合，然后使用逐步回归的技术来拟合。McCulloch建议采用一个简单的二次多项式作为基函数，但由于样条函数本身的多项式特征，导致描述的折扣因子随着债券到期期限的增加而发散，偏离了折扣因子的实际运动路径，估计的远期利率曲线可能出现震荡（这不符合理论常识）。为了避免震荡，McCulloch（1975）[7]又应用了三次样条函数，这种方法有很好的适应性，它不限制贴现函数的形式，但是估计出的远期利率可能为负，与二项式一样在远端的不稳定。尽管McCulloch所做出的三次样条估计是开创性的和卓越的，但由于其所选取的基函数形式，在估计过程中，回归矩阵的列向量很可能存在多重共线性问题，因而导致估计的不精确。Schaefer（1973）[8]、Jordan（1984）[9]以分段多项式估计贴现函数时，也发现同样的情形。Schaefer（1973）对此建议在分段估计贴现函数时，应加入贴现函数斜率处处为负的限制。由于这种技术生成的远期利率曲线无法用于合理的预期，Vasicek和Fong（1982）[10]建议采用指数样条以生成一个渐进平坦的远期利率曲线，但模型不能确保名义利率的远期取值为正，需要运用非线性参数估计技术，而且在实践上并不易于运用。但是Shea（1984）[11]认为他们的模型拟合利率期限结构的能力与一般多项式样条相仿，建议使用普通的样条函数。Steeley（1991）[12]认为多项式基函数所产生的回归矩阵的列向量间可能存在完全共线性，由此引起的大量数据减少可能降低拟合的准确度，他推荐使用三次B-样条。Deacon.M.,Derry,A （1994）[13]做出结论，B-样条函数是实践中最好的拟合方法。Michalis Ioamides（2003）[14]用三种不同形式的B样条函数比较了不同贴现函数形式在利率期限结构拟合中的优劣性。

Nelson和Seigel（1987）[15]提出了含参数的双指数样条函数的“简约模型”（Parsimonious Modeling）”，即Nelson-Seigel模型，该模型能够解决单调、双峰和S形态的利率期限结构，模型包含4个未知参数，一定程度上解决了负值远期利率问题，但期限结构十分复杂时，模型的拟合灵活性能力下降、存在不足。Svensson（1994）[16]对Nelson-Seigel模型进行了部分扩展改进，增加了两个参数，即Svensson模型，该模型适当提高了对复杂收益率曲线形状的拟合效果，尤其对计算短期债券价格时的灵活性大大增强。但该模型参数对计算初始值非常敏感，导致曲线不稳定，需要增加其它参数来控制曲线的波动，拟合效果也不是很好。由于Nelson-Seigel模型和Svensson模型拟合出的收益率曲线有较强的经济内涵，比较符合利率预期理论，所以后续得到不断的研究。例如，Bliss（1997）[17] [18]在Nelson-Siegel模型基础上提出了两衰减参数模型，Soderlind和Svensson（1997）[19]提出的模型则允许收益率曲线有两个隆起，Bjok和Christensen（1999）[20]则提出了更复杂的Nelson-Siegel远期利率的五因子变量模型。

使用样条方法拟合时，会出现振荡的情况，而现实中收益率（利率）曲线一般比较平滑。因此，采用平滑化技术可以消除曲线的振荡，这比较切合现实意义下的收益率（利率）曲线的形态。Fisher，Nychka和Zervos（1995）[21]提出使用平滑样条技术，建议在最优化目标中增加一个常数粗糙惩罚项（Roughness Penalty）以获取远期利率曲线，它是通过一般化的交叉认证程序（Generalized Cross Validation）生成的，可用于在同一个目标函数中平滑曲线的平滑度和拟合度。Waggoner（1997）[22]建议针对不同期限的债券使用分段可变的粗糙惩罚项。Anderson和J.Sleath（2001）[23]则进一步提出使用一个时变惩罚项即连续函数来表示平滑参数。明显地，这些估计技术要求的条件过于苛刻，其稳定性、估计结果的实用性就很容易地遭到批评。

三、国内研究综述

国内对于利率期限结构的研究基本上是借鉴国外的估计模型展开的。

庄东辰（1996）[24]和宋淮松（1997）[25]分别采用非线性回归模型和一元线性回归模型的方法研究中国的零息票债券。他们估计的零息票债券收益率曲线并不精确，尤其是对期限较长或期限较短的国债，预测的准确性较低、欠佳。另外，他们构建的模型均采用单利，否认了货币的时间价值，不能真实地反映投资者的实际收益和投资决策行为，严格地说，不能算是利率期限结构模型。杨大楷和杨勇（1997）[26]、姚长辉和梁跃军（1998）[27]利用到期收益率基本定价模型，描绘了当时时期的国债收益率曲线。陈雯和陈浪南（2000）[28]采用复利指数函数形式构造了中国国债到期收益率曲线。无论是在国债利率期限结构的理论方面，还是在实践方面都优于单利模式（庄东辰（1996）和宋淮松（1997））。高坚（2002）[29]通过模拟和插值方法研究了现有债券品种的到期收益率。杨春鹏和曹兴华（2002）[30]利用回归插补法和三次样条插值法构造了交易所国债到期收益率曲线，相比于传统的回归分析方法，该方法预测的国债收益率结果效果有所提高。郑振龙和林海（2003）[31]运用息票剥离法和二次样条估计法对中国2001-2002的利率期限结构进行了静态估计，但是不能避免样条估计波动的缺陷。杨宝臣和李彪（2004）[32]通过结合息票剥离法与三次样条法，推导出广义息票剥离法，并对国债收益率曲线进行了估计。赵宇龄（2003）[33]分别采用直接方法、模拟法、多项式样条函数法、和扩展的Nelson-Siegel模型的Svensson模型来构造中国国债收益率曲线。吴丹和谢赤（2005）[34]利用加拿大中央银行David Jamieson Bolder 和 Scott Gusba的研究，进行了三次样条多节点模型、三次样条少节点模型、平滑样条贴现模型、平滑样条零息票利率模型、平滑样条远期利率模型的理论推导和实证比较分析，发现不同模型在利率曲线估计、样本内、外的债券定价和收益率估计能力表现有所不同。最后得出较少节点的三次样条模型是最为理想的。朱世武、陈健恒（2003）[35]对国外常用的几种收益率曲线构造方法进行了比较和探讨，认为Nelsen Siegel Svensson扩展模型比较适合我国交易所市场的实际情况，推荐该模型适合作为利率期限结构的估计方法。范龙振和王晓丽（2004）[36]利用Nelson-Siegel模型对上交所债券交易价格隐含的利率期限结构进行了估计，发现1996年以前短期利率高于长期利率，存在明显的偏度，表现出典型的逆向期限结构，而1996年以后长期利率高于短期利率，存在明显的峰度，表现为上升的利率期限结构。朱峰（2003）[37]分别采用Nelson-Siegel-Svensson和基于三次B样条函数Fisher-Nychka-Zervos模型来估计隐含在价格时间序列数据中的收益率期限结构，但仍旧无法避免拟合效果与曲线的抗扰性之间的矛盾。刘灿和易璐（2004）[38]采用了Powell（1981）定义的B样条函数法对我国深沪两市国债收益率期限结构进行了实证研究。研究认为，采用B-样条函数估计我国国债收益率的期限结构是有效的。傅曼丽、董荣杰和屠梅曾（2005）[39]对利率期限结构的4种构造模型进行了较系统的横向对比实证，认为多项式样条法、B-样条法在价格拟合度方面占有明显优势；而Nelson-Siegel模型和Svensson模型构造的利率期限结构规范性较好，但其价格拟合度牺牲较多，其结果与债券市场隐含的期限结构有一定差异；B-样条法在利率期限结构的拟合精度、曲线光滑性及平稳性方面的综合效果最好。应用B-样条法对整个样本期国债交易数据的跟踪计算结果表明，该模型算法稳定可靠，能够精确有效地追踪国债利率期限结构的系统性变动，最适合作为当前债券利率期限结构的估计模型。中央国债登记结算有限责任公司（2007）的做法是，先确定出当日若干剩余年限与对应收益率的样本点，然后采用单调三次Hermite多项式插值模型构造出国债收益率曲线。周子康、王宁和杨衡（2008）[40]在Nelson-Siegel模型及其扩展模型的基础之上，通过扩展指数多项式的方法，构建出NSM模型（Nelson Siegel Modified Model），并通过沪市的国债日数据对这三个模型进行实证分析比较，表明NSM模型不仅保留了Nelson-Siegel模型的经济含义，克服了Svensson模型参数估计依赖初始值的缺点，能够反映出利率曲线的多峰情况；而且其在拟合精度、价格误差等多项指标上均优于Nelson-Siegel模型和Svensson模型，并具有良好的适应性和稳健性，但是仍避免不了过多参数带来的麻烦。

四、结语

利率期限结构是市场风险定价、计量和风险预测的标准。诚然，已有的数量化估计模型具有自身的缺点，但是无论何种方法，构建的收益率曲线对市场变化情况的反映应能够客观、合理，应力求建立在全面、客观、合理的债券数据源基础上，并尽量剔除异常价格的影响；构建的收益率曲线模型应适应债券市场多变的收益率形态，并满足光滑性和稳定性的要求等，这些都是非常值得有待深入研究的课题。另外，国外成熟市场发展经验表明，拥有完善的市场基础之上的标准化收益率曲线或公认的参考计量指标，有助于推动活跃市场交易，控制市场风险，推动市场的快速发展。

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