小议数形结合思想

在中学数学教学中，培养学生的数学能力是最重要的目的，而“培养思维品质是发展智力与能力的突破口”，“学生数学能力的差异，通过数学思维的深刻性、灵活性和敏捷性等思维品质来体现”，“思维的深刻性是一切思维品质的基础”.数形结合有利于提高思维的深刻性，因此在中学数学教学中，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想，作为数学知识的精髓，作为将知识转化为能力的“桥梁”来学习和研究.我们要从“形”与“数”的结合上做好教材分析，揭示数学问题的实质.例如，函数是中学数学最重要的内容之一，这部分的内容也比较适合采用数形结合的方法来组织教学.对于函数的概念和性质，除正面讲清用数量关系给出的定义外，还要借助于图形直观性的一面，用不同的语言（数的语言、形的语言：开始介绍集合——可用韦恩图表示集合间的关系“交”、“并”、“补”；定义域和值域概念及其表示——通过不等式（组）的解，引用区间、线段，用数轴描写实数集，用数轴的全体或部分来表示定义域和值域；函数关系与图象——用平面点集（有序对）来描写、揭示函数关系（对应法则），而且用这个平面点集组成的曲线的、来描写函数的性质；奇偶性——关于点（原点O）或坐标轴对称，有界性——是否存在平行线或直线；周期性——图象能否有规律的重复出现或叠合；互为反函数的函数——关于y=x对称的图象，等等）、从不同的角度、以不同的形式来认识函数问题的本质.可见，在代数的核心内容函数的教学中，我们要做好这种“数”与“形”的关系的揭示、转化与统一——这正是函数知识的精髓，这样学生就能抓住函数知识的本质，抓住知识的内部联系，从而有助于系统地理解、掌握和运用函数知识去解决相关问题，这正是思维的深刻性与灵活性的体现，也体现了数形结合思想是将知识转化为能力的“桥梁”.

数形结合不仅能够帮助我们分析和处理教材，而且它在解题教学和解题实践中更是大显身手.作为解题方法的数形结合应包含两方面的内容：一方面，对于“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面，对于数量关系间的关系问题，分析其几何意义，找出数形结合其所反映的“形”之间的关系，借助形的直观来解决，二者都是数形结合.

下面就六个方面来具体介绍数形结合思想在解题实践中的应用.

（一）运用数形结合思想解决函数问题

借助于图象研究函数的性质，是一种常用的解题方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法，运用这种思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果.

例：设方程log3x+x-3=0的根为x1，方程3x+x-3=0的根为x2，求x1+x2的值.

Y

3 B

P

A

Y=x O 3 X

分析：由题设的两个方程很难解出x1，x2的值，如图所示，若单独使用图象法将第一个方

程写成log3x=3-x，再求函数y=log3x与y=3-x图象的交点，只能求出近似值，但

如果考虑到y=log3x与y=3x关于y=x对称，可得如下解法

解：所给两方程可变形为log3x=3-x，3x=3-x，

第一个方程的根是x1，就是y=log3x与y=3-x图象的交点A的横坐标；第二个方

程的是x2就是y=3x与y=3-x图象交点B的横坐标，设y=x与y=3-x的交点为P.

因为直线y=x垂直于y=3-x，并且y=log3与y=3x的图象关于y=x对称，所以A

与B关于点P对称，易求 ，从而有 ，所以x1+x2=3

（二）运用数形结合思想解决三角问题

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般先将函数化成基

本三角函数的形式，借助于单位圆后三角函数的图象来处理，数形结合思想是处理三角函数

问题的重要思想方法.

例：已知0

分析：对于本题中的3个比较量，可用作差法比较sina

较就很困难，但如果借助于单位圆就比较容易了.

证明：如图所示，在单位圆中做

作ADOB，作ADOB于D，显然有面积不等式：

，即

所以 ，即sina

（三）运用数形结合思想解决不等式问题

数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形

上找出解题的思路.运用数形结合解题主要有两个途径：（1）转化：即将代数式转化为几何

式.（2）构造：即构造图形或函数.

例：若0≤x2+ax+5≤4恰有一个解，求常数a.

Y

y=4

O X

解在同一直角坐标系内作出y=4图象及y=x2+ax+5的草图，如图所示.如果抛物线的顶点在直线y=4的下方，则原不等式有无数个解；如果抛物线的顶点在y=4的上方y=4，则原不等式无解.因此，当且仅当抛物线的顶点在y=4上时，原不等式才有一解.易知抛物线顶点的纵坐标为 ，从而应有 .a=±2，这时对应的不等式的解为x=

（四）运用数形结合思想处理方程问题

用数形结合思想处理方程问题，即把方程根的问题看成两个函数图象的交点问题，借

助函数图象采用直观分析的方法，通过研究函数图象的交点问题来研究方程根的问题.

例：k为何值时，方程7x2-（k+B）x+k2-k=2的两根分别在（0，1）和（1，2）内.

分析：本题若用韦达定理来做，虽然也能得出结果，但过程会比较麻烦，要是结合函数

图形来做就会简单许多，且过程也比较明了.

解：设f（x）=7x2-（k+B）x+k2-k-2此函数图象是开口向上的的抛物线，根据图象

得 即 即-2

Y

O 1 2 X

当-2

（五）运用数形结合思想研究数列问题

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式及前n项公式可以看作是关于正整数n的函

数.用数形结合的思想研究数列问题就是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关

问题转化为函数的有关问题来解决.

例：设等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13

Y

X

O 12 13

分析：由于等差数列中Sn是关于n的二次函数，要求S1、S2…S12中的最大值，可利用二

次函数的图象来求解

解：设等差数列的首项为a1，

又d0，S13

12

（六）运用数形结合思想研究解析几何问题

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中要善于将数形结合的思想方法运用于对

圆锥曲线的性质和相互关系的研究中.

例：试求出过点 的直线，使它与抛物线y=4x2仅有一个公共点.

Y

O X

解设过（0.1）的直线y=kx+1，把它与y=4x2联立代入得x的二次方程

k2x2+（2k-4）+1=0，令其判别式Δ=0后，出k=1，得出直线y=x+1.这里忽视一个限

制条件：二次项系数不为0.而且对直线与曲线的相切和只有一个交点这两个概念混为一谈.又

因在使用斜截式方程时，默认斜率存在或倾斜角不为90°，因而使解法不够完整，所以我们必

须注意k的两个临界值：k=0或k不存在（k∞）时的极端情形，经过实际验证得到满足问题

的另外两个解：直线y=1与x=0.

在解题教学中要将数形结合思想贯穿于始终，要不断启发学生去尝试，去“形”中觅“数”，“数”中思“形”，通过“以数解形”或“以形助数”，兼取数的严谨与形的直观两方面的长处，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓解题思路，训练解题技能积累解题经验，享受使用数形结合思想带来的喜悦。