玫瑰线轨迹模型及其仿真实验

摘 要： 建立了玫瑰线轨迹模型，对模型进行了理论证明并使用Mathematica软件对其做了仿真实验。理论与实验均表明，当模型中参数时，即可得到玫瑰线轨迹ρ=acosnθ。该模型从运动的角度揭示了玫瑰线的生成规则，为机械绘制玫瑰线提供了理论依据。

关键词： 玫瑰线； 轨迹； 仿真实验； Mathematica软件

中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2013）04-01-03

Model of rose curve trajectory and simulation experiment

Wang Fugui1， Wang Jianwei2

（1. College of Arts and Sciences， Shanxi Agricultural University， Taigu， Shanxi 030801， China；

2. College of Information Science and Engineering， Shanxi Agricultural University）

Abstract： The model of rose curve trajectory is given in this paper in which it is proven theoretically. A simulation experiment has been done using mathematical software. Both the theory and experiment indicate that when ， ρ=acosnθ can be achieved. The formation rule of the rose curve is revealed based on motion. Theoretical evidence for related mechanical drawing is provided.

Key words： rose curve； trajectory； simulation experiment； Mathematical softwares

0 引言

玫瑰线的极坐标方程为ρ（θ）=acosnθ，如ρ（θ）=acos3θ表示3叶玫瑰线，ρ（θ）=acos2θ表示4叶玫瑰线等[1，2]。由于玫瑰线的曲线美观，所以使用玫瑰线可以设计出许多非常漂亮的几何图案[3]。许多学者对玫瑰线的几何特性作了研究，熊作朝先生研究了玫瑰线的周长[4]，潘陆益先生等研究了玫瑰线的花瓣数及周期性等[5，6]，李星秀先生等研究了逐点生成算法[7]。玫瑰线有许多实际应用，如扫描瞬时视场[8]，安全底纹的设计[9]等。本文建立了玫瑰线的轨迹模型，并使用Mahtematica程序设计语言编写了玫瑰线轨迹仿真程序[10，11]。

1 轨迹模型

1.1 模型描述

如图1所示，设动圆半径为，动圆圆心初始位置为A（，0），动圆上的动点Q的初始位置为B（a，0），动圆的圆心P绕着原点O（0，0）匀速公转，角速度为ω（ω>0时为逆时针旋转，ω

1.2 模型证明

由于P点旋转的角速度为ω，Q点旋转的角速度为kω，故在t时刻时∠AOP=ωt，∠BPQ=kωt，如图2所示。所以动点Q在t时刻的直角坐标为：

⑴

t时刻Q点与原点之间距离平方为：

⑵

假设t时刻Q点在极坐标系下的极角为θ（t），则

⑶

当t充分小时，与均位于第1或第4象限，故。

取，从而有：

⑷

下面验证对于任意的时刻t时，⑷式均成立。现把⑷式转换为直角坐标系下坐标。

⑸

⑹

由⑸式与⑹式可知，Q运动轨迹的极坐标方程为

⑺

1.3 模型应用

从⑺式知，模型中的参数k取不同的值，将得到不同的玫瑰线轨迹。令，得，故当模型中的参数时，即得到模型中Q点的运动轨迹为玫瑰线ρ（θ）=acos（nθ）（n≠1）。

2 仿真实验

2.1 仿真程序

我们在Mathematica7.0环境下编写了模型仿真函数roseLineTrajectory，函数roseLineTrajectory输出动点Q的运动轨迹。源代码如下：

roseLineTrajectory[a_， k_， Dynamic[t_]] ：=

DynamicModule[{angleCalc， p， q， tt， g}，

g[] ：= （p = RotationMatrix[t].{a/2， 0}；

（*点P在t时刻位置*）

q=RotationMatrix[k t].{a/2， 0}；

（*点Q在t时刻相对于P点的偏移量*）

Show[Graphics[{{Dashed， Circle[{0， 0}， a/2]

（*P点运动轨迹*）}，

{Dotted， Circle[p， a/2]}，

Circle[p， a/2， {Min[k t， 0]， Max[k t， 0]}]，

Circle[{0， 0}， a/2， {Min[0， t]， Max[0， t]}]，

PointSize[Medium]，

Point[p]，

Point[p+q]，

Arrow[{{0， 0}， p}]， Arrow[{p， p + q}]}，

PlotRange->{{-a-0.1， a+0.1}，{-a-0.1，a+0.1}}，

Axes -> True，

AxesLabel -> {x， y}]，

ParametricPlot[

RotationMatrix[u].{a/2， 0} +

RotationMatrix[k u].{a/2， 0}， {u， -10^-8， t}，

PlotStyle -> Thick，

PerformanceGoal -> "Quality"]]）；

LocatorPane[Dynamic[tt，

（angleCalc @@ Normalize /@ {#， tt}） &]，

Dynamic[g[]]， Appearance -> None]，

Initialization ：> （tt = {1， 0}； t = 0；

angleCalc[newp_， oldp_] ：= （t = t +

ArcCos[newp.oldp] Sign[Cross[newp].（newp-oldp）]；

tt={Cos[t]， Sin[t]}））

]

2.2 仿真程序测试

要得到3叶玫瑰线轨迹，可取参数k=-2，故调用模型仿真函数如下：

roseLineTrajectory[1， -2， Dynamic[t]]

输出仿真交互界面如图3所示。

使用鼠标在图3中拖动点P，可使点P绕原点旋转，程序将动态地输出动点Q所划过的轨迹，如图4所示。

当P点旋转一周以上时，得到Q点的运动轨迹为一条封闭的3叶玫瑰线ρ（θ）=cos（3θ），如图5所示。

取参数时，输入：

roseLineTrajectory[1， -4/3， Dynamic[t]]

可得到如图6所示的7叶玫瑰线。

3 结束语

本文建立了玫瑰线的轨迹模型，对模型进行了计算机仿真实验，通过实验验证了理论的正确性。通过调整模型中参数k的值，可以得到不同的玫瑰线轨迹，故该模型可以应用于机械绘制任意玫瑰线，可使玫瑰线的应用更加广泛。

参考文献：

[1] 同济大学数学教研室.高等数学上册（第4版）[M].高等教育出版社，1996.

[2] 李亿民.关于多叶玫瑰线的一个注记[J].山东理工大学学报（自然科学版），2009.23（2）：88-90

[3] 杨涛，王坤茜，徐人平等.函数图形中的玫瑰线在纺织中的应用[J].毛纺科技，2008.10：40-43

[4] 熊作朝.关于玫瑰线周长的一个恒等关系[J].思茅师范高等专科学校学报，2011.27（3）：13-14

[5] 潘陆益.玫瑰线及其应用研究[J].计算机应用与软件，2008.25（10）：236-238

[6] 金义明，张三元.广义玫瑰线及其应用[J].计算机应用研究，2004.3：170-171

[7] 李星秀，康宝生.玫瑰线和普通旋轮线的逐点生成算法[J].计算机工程与设计，2006.27（5）：746-748

[8] 张磊，裘雪红.一种新的确定"玫瑰线"扫描中瞬时视场的方法[J].红外技术，2003.25（1）：44-47

[9] 亓文法，李晓龙，杨斌等.动摆线及其在安全底纹设计中的应用[J].计算机辅助设计与图形学学报，2008.20（2）：267-272

[10] Sal Mangano.Mathematica Cookbook[M].O'Reilly Media，2010.

[11] 张韵华，王新茂.Mathematica7实用教程[M].中国科学技术大学出版社，2011.