“一一列举”例题教学中的困惑与反思

“解决问题的策略”是苏教版数学教材体系中重要的组成部分，它包含了众多的解题策略，“一一列举”策略就是其中之一。在五年级上册的教材中，涉及“一一列举”策略的例题共设有3个：例1主要是让学生感悟到“一一列举”也是一种有效的解题策略；例2主要是突出在“一一列举”时要做到不重复、不遗漏；例3则重点是引导学生从不同的角度、用不同的方式去“一一列举”。教材编排的意图在于通过以上不同层次、不同侧重的例题教学，让学生深刻地感受到“一一列举”策略的特点与价值，进一步发展思维的条理性与严密性，然而，在例题的教学过程中，笔者却遇到了两个困惑。

【困惑一】在教学例2时，笔者出示了这样的问题情景：

学生在审题思考后，很快就有了以下的讨论。

生1：如果只订阅1本，有3种不同的订法；如果订阅2本，有3种不同的订法；如果订阅3本，只有1种不同的订法。所以一共有7种不同的订法。

生2：我不赞同他的观点。如果只订阅1本，有3种不同的订法；如果订阅2本，有6种不同的订法；如果订阅3本，有10种不同的订法。一共有19种不同的订法。

师：想不到有这么多的订阅方法。能具体地说一说吗？

生2：我列了一张表格（如图1），我认为题目中没有条件限制，也就是说同样的一种。刊物是可以重复订阅的，所以我的订阅方法比他们的多！

生3：我不同意！我昨天预习了数学书，书中的答案是7种方法，不包括重复的，因为同样的刊物重复订阅是一种浪费！（如图2）

从只订阅1本想起。如果只订阅1本，有3种不同的方法；如果订阅2本，也有3种不同的方法；如果订阅3本，只有1种方法：一共有7种不同的方法。

（这时不少学生打开课本，纷纷表示赞同。）

生2：这是一种浪费吗？我们班很多同学都订阅了《××数学报》，一共有34份，这难道也是一种浪费吗？

（学生争论起来）

……

反思：同一种刊物到底能不能重复订阅呢？《义务教育课程标准实验教科书 数学教师教学用书 五年级（上册）》（江苏教育出版社2007年6月第2版）中指出，教材呈现了两种方法，虽然它们的表达形式不同，但分类标准还是一样的，那就是按照订阅刊物的本数来进行分类：“只订阅1本，……；订阅2本，……；订阅3本，……”。也就是说教材在解答例题时，排除了同一种刊物重复订阅的情况，可是这种排除合理吗？要知道在生活中同一种刊物被重复订阅的现象也是存在的！比如说课堂上生2所说的“学生在订报纸时就有重复订阅的现象”。

再来看看例2后面安排的一道关于打靶的练习（教材P64“练一练”）：

一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中两次，可能得到多少环？（列举出所有可能的答案）

题目中要求学生“列举出所有可能的答案”，这里就包括了同时投中10环的、同时投中8环的和同时投中6环的，也就是说某一环被重复投中的情况也要被纳入考虑范围之内，可教材中的例2又“含蓄”地指出同一种刊物不重复订阅。为什么在现实生活中“订阅报刊”、“打靶计分”可以重复计算，而在教材中却就要区别对待呢？毫无疑问，这些人为的、不合理的因素严重干扰了学生的思维，影响了学生学习的效率。

处理：针对以上的情况，在教学例2时，可以将例题的答案补充完整，即考虑同一种刊物重复订阅的情况。但是作为初始课，如果一开始就让学生列举出所有的订阅方法（共19种），对于刚刚接触新知的学生来说，难度有些偏大了。因此，我们不妨从现实的学情出发，调整一下题目的编排次序，即将例2与例2后的“练一练”进行对调，从浅到深、从易到难，这样的编排学生更易接受。此外，还有一种更好的处理方法，那就是在例2的题目加上一些限制性的语句，比如说“同一种刊物不重复订阅”，这样就使得题目的叙述更加严密，目标更加明确，自然也就不会产生歧义了。

【困惑二】在教学例3时，有这样的问题情景：

例3 旅游团有23人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排方法？

经过一番讨论与交流之后，学生采用文字、表格的方式得到了这样的结论：一共有4种不同的安排方法。

师：在这题中，我们是怎样“一一列举”的？

生1：我们从1个3人间想起，或者从1个2人间想起，然后有序地、不重复地来进行列举。

生2：老师，我认为从0个3人间想起，或者从0个2人间想起比较好！

师：为什么？

生2：如果旅游团的人数不是23，而是32呢，这时不是可以安排16个2人间了吗？

生3：可是原来题目中的“23”，既不是2的倍数，也不是3的倍数，所以就不需要从“0”想起，自然也就不要写出来了，要知道数学课本里就是从“1”开始想起的啊！

（学生打开教材第65页，果然看到了“从只住1个3人间想起”“如果只从1个2人间想起”这样的文字。）

生2：虽然书中是这样写的，但我还是认为从0开始想起更加科学、合理！

（学生争论起来）

……

反思：在上面的例题教学中，引发学生争议的焦点主要有两个：第一个争议点是遇到与例3类似的问题时，到底应从“1”开始想起，还是应从“0”开始想起？《义务教育课程标准实验教科书 数学教师教学用书 五年级（上册）》（江苏教育出版社2007年6月第2版）第133页中指出，“在提出问题后，教材先启发学生‘从只住1个3人间想起’……在此基础上，进一步启发学生从只住1个2人间想起’，并列举出各种不同的安排方法”。可是这种说法是否科学合理呢？反观我们的实际生活，“只住2人间”或者“只住3人间”的情况早已司空见惯！因此，不管是从生活实际的角度，还是从思维严密性的角度来考虑，我们都应该从“0”开始想起。第二个争议点是当我们从“0”开始想起时，如果它对应的数据不合题意，那么要不要把它写出来呢？对照教材第65页，教材用列表的方式呈现了“一一列举”的思考过程，虽然有些安排不合理，但它们都被一一展现出来了。由此，我们不难看出，经历解题的过程比解题的结果来得更为重要。因此，在“0”的情况下，不管此时的安排是否符合题意，它们也应该被写出来，因为只有这样，学生思维的条理性、严密性、完整性才会得到真正的加强与提升。

处理：在教学例3时，我们应该走出教材，摒弃原有例题中的表格，让学生通过讨论与交流，优化解题策略。在这过程中，教师要适时引导学生从“0”开始想起，不断完善解题以及书写的过程，力求使学生的思维品质得到进一步的成长与超越。

（责编 金 铃）