随机过程理论在股票及期权研究中的应用

一、引言

对金融工具进行正确的估价是对风险进行有效管理的必要条件,而金融工具具有公平的价格是它们合理存在与发展的关键。我们常用的几何布朗运动所描述的证券价格的变化过程是连续的。但从金融市场发展的历史来看,证券价格的变化过程经常会受一些不可预测的随机事件破坏,如受金融危机,股市崩盘等的影响,产生剧烈的波动,而具有向上或向下的不连续的跳跃。为了更准确的预测证券价格的波动和走势,可以把价格的变化过程分解为跳跃过程与布朗运动的叠加,而且假定跳跃部分与连续部分是相互独立的。因此我们就利用渗流理论建立了一种具有跳跃性质的股票价格模型。

二、带跳跃的股票价格模型的构造

1.连续过程

我们根据渗流理论来构造股票价格模型。假定有N个投资者,且其中投资者i(i=1,…,N)持有Mi种股票B1i,…,BMii。例如:当M1=…=MN=2且B11=B22,B12=B23,…,B1N-1=B2N,B1N=B21时,市场上有N种股票,此时的市场构造可由一位环面S1表示（如图1）。同理若在二维空间S2上（如图2）,有N×N个投资者,每个投资者(i,j),1≤i,j≤N-1持有4种股票B(i+1,j）(i,j),B(i-1,j）(i,j),B(i,j+1）(i,j),B(i,j-1）(i,j),假定投资者(i,N)持有股票B(i,1）i,N来代替B(i,N+1）(i,N),(N,j)持有股票B(1,j)(N,j)。令B(k,l)(i,j)=B(i,j)(k,l),即每个投资者与他四个邻居中的一个仅持有一种相同的股票,在边界上的投资者与他相对边上的投资者持有相同股票（例如,投资者(i,N)与投资者(i,1)都持有股票B(i,1)(i,N)）。假设每个投资者眼界是有限的,即他们都只关心自己所持有的股票及该股票的价格指数,而对自己所不持有的股票不感兴趣,且假定投资者投资组合的内容不变。

设在t天,投资者在二维空间上以强度λ的Poisson点过程产生点集分布,记为{X(i,j)(r),i,j∈I}。相邻接的投资者集合构成一个渗流连接串,设集合{X(i,j)(t),i,j∈I}共构成K(t)(K(t)＜∞)个渗流连接串,分别记作C1(t),C2(t),…,CK(t)(t),其中K(t)为一服从泊松分布的随机变量且参数是λ0。将投资者的状态用η(Xi,j)(t))表示,即若投资者预测股市上涨或下跌时η(X(i,j)(t))分别为+1或-1,预测股市保持不变时η(X(i,j)(t)=0)。

下面分三步来构造收益过程。在每一个周期中,对于t≤T

第一步:在每一个串Ck(t),k=1,2,…,K(t)中随机的选取一个投资者,用X(i,j)(Ck(t))表示,他以α/2的概率预测股市会上涨或下跌,以1-α的概率预测股市保持不变。当他预测股市会上涨或下跌时,会相应的买进或卖出他所持有的股票B1i,…,BMii,当他预测股市不会变化时,将保持中立。即η(X(i,j)(Ck(t))=1或者-1的概率都为α/2,η(X(i,j)(Ck(t))=0的概率为1-α。同时将这个投资者所在串的状态记作+1,-1或0,用sgn(Ck(t))表示。

图1 环形图

Fig。1 The 1-dimensional tours

图2 二维方格图

Fig。2 Thenetwork of structure of the market

第二步:看到交易者X(i,j)(t)买进或卖出股票,与之持有相同股票的邻居X(k,l)(t)能以一定的概率判断出股市将要上涨、下跌或是保持不变。即:如果交易者X(i,j)(t)买进,其邻居将以概率pu认为股市上涨,以概率1-pu认为股市保持不变。如果交易者X(i,j)(t)卖出股票,其邻居将以概率pd认为股市下跌,以概率1-pd认为股市保持不变。当邻居X(k,l)(t)认为股市上涨或下跌时,他也会相应的买进或卖出股票。如果交易者X(i,j)(t)保持中立,则其邻居也都保持中立,即P(η(X(k,l)(t))=0)=1。其中,pu和pd都被假定为股票价格指数S的函数:pu=pu(S(t))为递减函数,pd=pd(S(t))为递增函数。

第三步:以St表示t时刻的股票价格指数,以R表示股票价格指数的收益率。则在串Ck(t)上就有

Rk(t)=ln(St/ΔSt)=ρ×sgn(Ck(t))×|Ck(t))|(1)

其中ΔSt=St-St-1;ρ为正常数,表示市场参数;|Ck(t)|为串Ck(t)中交易者的数量。sgn(Ck(t))表示串Ck(t)的状态。

(2)跳跃过程

设两相邻投资者间可传播消息的概率为p。得到利好或利空消息的投资者将会买入或卖出自己投资组合中的全部股票,从而对股市行情产生影响。用C(x)表示得到消息的投资者集合,C(x)为所有投资者的集合,显然C(x0)C(x0),因此有0≤|C(x0)|≤|C(x0)|。

考虑n天作为一个时间周期,{Nn}为n的非降序列,在平面[-Nn,Nn]2上,用Cs表示在第s天形成的Poisson点集,在这一天的初始时刻,位于x0处的投资者以概率α,β(α+β≤1)及1-α-β收到好,坏或中立的消息。我们假设市场总体处于上升趋势,因此不妨设α≥β,并记消息为gs,且有gs=+1(若x0处的投资者收到好消息),gs=-1(收到坏消息),gs=0(收到中立的消息或者没有受到任何消息)。则此消息在邻居间以概率p传播开。记ks=k(λs)为一个系数,表示消息的强弱程度。设

As=gs・ks・|Cs(x0)|/|Cs(x0)|(3)

现在来讨论该模型。为了方便讨论,我们将该构造连续化。设t∈[0,1],则[nt]∈[0,n],其中,[・]表示不小于数・的最小整数。定义

W[nt]=1/n∑[nt]s=1As=1/n・∑[nt]s-1gs・ks・|Cs(x0)|/|Cs(x0)|

则由各个时刻的独立性,得

E[eizcW[nt]]=∏[nt]s=1[1+izc/n・E[As]-z2c2/2n・E[As2]+o(1/n)]

以下我们分三种情况来讨论(见文献[7,8]),设0＜τn1＜τn2＜1（τn1,τn2为服从参数为n,λ的Γ分布随机变量。）,则

(a)当0≤t≤τn1时,设λs=λ0＜λc,s=1,2,…,[nτn1]由连续渗流理论,此时在n∞,即Nn∞时,不存在无穷的渗流连接串。即可认为消息的影响较小,只有在有限的范围内传播。由于p≤1,因此对股票价格的影响不大。

(b)当τn1＜t≤τn2时,设δ1为一个充分小的正常数,λs=λsup=λc+δ1,此时ks=1,在R2上存在无穷的渗流连接串,由于消息在这个无穷串上得到广泛传播,其影响力远远超过其他串,可以认为这时的市场出现了重大的利好或利空消息,因此指数的波动主要取决于无穷串上消息的传播,其他串上消息的传播则可忽略不计。由连续渗流的平移不变性,不妨将此无穷串记为C(x0)。首先,在λ≥λc下,定义pc(λ)

pc(λ)=inf{p:在C（x0)上存在子串C（x1)满足|C（x1)|=∞|}

先来看ps＜pc(λsup）的情况。设p0＜pc(λsup）,取

εn=1[nτn2](pc(λsup)-p0)

令ps=pn=pc(λsup)-εn,再构造

Nn=inf{N∈N:Eλsup,pn(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)≤1/n}

显然Nn为非降序列。因此在[-Nn+1,Nn-1]2中,我们有

Eλsup,pn(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)≤1/n,limnmEλsup,pn(|Cs(x0)|2/|Cs(x0)|2)=0

可知由于消息只掌握在少数人手中而没有大面积传开,则它所造成的影响有限,只能产生很小的波动。可设α＝αs,β=βs满足

E[As]=(αs-βs)ksE(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|)=1/n

于是有

limn∞Eeizc(W[nt]-W[nτn1]+1)=exp{izc(t-tn1},τn1＜t≤τn2(4)

(c)当τn2＜t≤1时仍设λs=λsup,而另取一个充分小的正常数δ2,令ps=psup=pc(λsup)+δ2,则在无穷串C(x0)上存在一个无穷子串C(x1),由连续渗流理论知此时股票价格指数会产生剧烈的波动。仍然只关心这个无穷子串而将其他子串忽略不计,因此不妨再利用平移不变性,设x1=x0。此时,令

c1=Eλsup,psup(|Cs(x0)|/|Cs(x0)|),c2=Eλsup,psup(|Cs(x0)|2/|Cs(x0)|2)

则c1≥0,c2≥0设α=αs,β=βs满足αs+β=1,αs-βs=1/n,此时

limn∞Eeizc(W[nt]-W[nτn2]+1)=exp{(izcc1-z2c2c2/2)(t-τn2)},τn2＜t≤1(5)

综上,我们可以认为,在每一个跳跃点n,股市会产生一个振幅为c2As的小跳跃或者产生一个振幅为cAs的大跳跃,其中c为正常数。令

ξt1=∑ts=1c2As,ξt2=∑ts=1cAs(6)

则我们就得到股票价格的指数为

S(t)=S(0)exp∑ts=1∑k(s)k=1[Rk(s)]+ξt1I(τn1,τn2](s) +ξt2I(τn2,1](s)

=S(0)exp∑ts=1∑k(s)k=1[Rk(s)]

+∑ts=1c2AsI(τn1,τn2](s)+∑ts=1cAsI(τn2,1](s)(7)

其中IA(t)为示性函数,即IA(t)=1,t∈A0,tA。

若令J(t)=eξt1Iτn1,τn2](t),对于0＜t＜1,由式(4),(5)可以得到

E[J(t)]=ect2・Iτn1,τn2](t)+cc1t・I(τn2,1](t)

Var[J(t)]=ec2c2t・I（τn2,1](t)(8)

且对于Rk(t)，我们可以得到

μ(s)=λ0as 0＜s＜1(9)

σ2(s)=0 0＜s＜1/2r0λ0 1/2≤s＜1(10)

则由式(8-10)有

E[S(t)]=S(0)eλ0at+ct2・I(τn1,τn2](t)+cc1t・I（τn2,1](t)0＜t＜1/2

S(0)eλ0at+r0λ0/2+ct2・I(τn1,τn2](t)+cc1t・I（τn2,1](t) 1/2≤t＜1

三、无套利价格

由套利定理,如果所有的期权相对于风险中立概率都被公平定价,那么套利就不可能存在。当一个股票的初始价格为S0时,令C（S0，t,K)表示到期日是t,执行价格是K的期权的无套利价格。也就是说,C(S0,t,K)就是当初始价格为S0时由Black-Scholes期权定价公式所计算出的C,如果在时刻y,标的证券的价格是S(y)=Sy,那么C(S0,t-y,K)就是期权在时刻y时的唯一无套利价格。这是因为在时刻y,期权会在经过时间t-y后以相同的执行价格K到期,并且在下面t-y个单位时间内该证券仍然会服从初始价格为Sy的几何布朗运动。由于风险中立几何布朗运动仅依赖于σ的变化,因此期权的无套利价格对布朗运动的依赖性仅仅是通过对布朗运动的波动参数σ的依赖来体现的,而与漂移参数无关。如果我们假定证券价格演化过程服从的几何布朗运动分布的波动率σ不变,而漂移参数是随时间变化的,那么期权的无套利价格也是不变的。我们知道,一个到期日是t,执行价格是K的欧式买入期权的无套利价格为

无套利价格=e-rtE[J(t)S0eW-K)+]

其中,S0为股票的初始价格,W是个均值为(r-σ2/2-c/2・I（τn1,τn2](t)-cc1・I(τn2,1(t))t,方差为tσ2的正态随机变量。如果令

st=S0e-ct2・I(τn1,τn2](t)-cc1・I（τn2,1](t)=S0E[J(t)]

那么

无套利价格E[C(stJ(t),t,K,σ,r)]

由于C(s,t,K,σ,r)关于s为凸函数,根据已知的詹森（Jensen）不等式得到

E[C(stJ(t),t,K,σ,r)]≥C(E[stj(t)],t,K,σ,r)=C(S0,t,K,σ,r)

这表明跳跃模型中的无套利价格,不会比同样模型无跳跃时的价格低。

利用下面的方法我们可以得到此无套利价格的近似值。首先把C(x)=C(x,t,K,σ,r)只看作是的函数（其他变量保持不变）,把它在某个点x0按泰勒级数张开,然后忽略不计第三项以后的全部项得到

C(x)≈C(x0)+C′(x0)(x-x0)+C″(x0)(x-x0)2/2

因此,对于任何非负的随机变量,我们有

C（X)≈C(x0)+C′(x0)(X-x0)+C″(x0)(X-x0)2/2

令x0=E[X]并对上式左右两边同时取期望得到

E[C(X)]≈C(E[X])+C″(E[X])Var(X)/2

令

X=stJ(t),E[X]=S0

则

E[C(stJ(t))]≈C(S0)+C″(S0)s2tVar(J(t))/2

定理:假设跳跃的大小服从一般的分布,那么

期权的无套利价格=E[C(stJ(t),t,K,σ,r)]≥C(S0,t,K,σ,r)

而且

期权的无套利价格≈C(S0,t,K,σ,r)+s2tVar[J(t)]12S0σ2πte-2/2

=C(S0,t,K,σ,r)+S20Var[J(t)]E2[J(t)]12S0σ2πte-2/2

其中:st=S0/E[J(t)],=rt+σ2t/2-log(K/S0)σt。

由定理,在我们所构造的模型中,就有

期权的无套利价格=C(S0,t,K,σ,r)+S20ec2c2t・I(τn2,1](t)-(ct2・I(τn1,τn2)(t)+cc1t・I(τn2,1)(t))212S0σ2πte-2/2

四、结语

根据渗流理论,构造了股票价格波动过程中的连续过程与跳跃过程,并对模型的无套利价格进行了估算。本文希望所建立的证券价格随机模型更加接近实际问题,希望该模型的建立对我们研究实际价格波动具有一定的理论和现实意义。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(70471001;70771006);北京交通大学基金项目(2006XM044)

（作者单位：北京交通大学理学院）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文