哪来的14元?

[摘要\]作为现代数学思想之一的“概率”，在初中阶段已有明确的学习要求，但与之关联的“数学期望”则往往容易为教师所忽视。教师在概率教学中顺水推舟，进行引申，将更有助于学生对概率的掌握以及相应问题的解答。

\[关键词\]概率；数学期望；教学反思

\[中图分类号\]G633.62\[文献标识码\]A\[文章编号\]2095-3712（2014）12-0063-03\[作者简介\]黄荣胜（1972―），男，本科，福建将乐人，将乐县水南中学一级教师。

“概率”作为现代数学思想之一，在初中阶段已有明确的学习要求：了解概率的含义，能够借助概率模型或通过设计活动解释一些事件发生的概率。（《2013年福建省初中学业考试大纲》）与之关联的“数学期望”则往往容易为教师所忽视，究其原因在于大纲中并未要求。其实，教师若能在教学中顺水推舟，作些引申，势必更有助于学生对概率的掌握以及相应问题的解答。

一、问题情境

某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如下图），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？（北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册第四章2哪种方式更合算）

当教师展示完题目，学生几乎异口同声地答道：“直接获得购物券。”这在教师意料之中，或者说，是学生想当然的一种反映。当教师告诉他们：“你们错了！”学生的愕然可想而知。

众所周知，数学源于现实生活，但又高于现实生活，尽管它可以反过来解释现实生活中的现象。不过，不经思考、分析，尤其是未能把当前的问题情境与已有知识联系起来思考，困惑则毋庸置疑。

教师可以先引导学生读教材，看看书中的解答。

小亮认为，每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数是：100×5%+50×10%+20×20%=14元。

14元大于10元，这是小学一年级学生都明白的事实。问题在于，转盘中不会直接出现14元，那么，这14元又是从哪来的呢？小亮的解答对吗？为什么？

二、解决策略

该问题情境涉及的正是数学期望方面的知识。不过，这需要教师从学生已学习过的算术平均数、加权算术平均数的推广公式等知识点切入。

首先，算术平均数的计算。

设一组数据为x1，x2，…，xn，简单的算术平均数的计算公式为：=x1+x2+…+xnn。例：小明在初二（上）的数学考试成绩分别为：平时测验92分，期中考试90分，期末考试88分，则小明该学期的数学平均成绩是分。

代入公式，易得=92+90+883=90（分）。

其次，加权算术平均数推广公式：=x1f1+x2f2+…+xnfn，其中x1，x2，…，xn为各组数据，f1，f2，…，fn为各组数据出现的频率，f1+f2+…+fn=1。

例：小明在初二（上）各次考试的数学成绩分别为：92分2次，90分1次，88分3次，则小明该学期的数学平均成绩是分。

代入公式，易得=92×2+90×1+88×36≈89.7；或变换为：=92×26+90×16+88×36≈89.7。

此处，f1=26、f2=16、f3=36对应着x1=92、x2=90、x3=88这三个数据出现的频率，从而有=x1f1+x2f2+x3f3且f1+f2+f3=1，这个公式即是计算加权算术平均数的推广公式。

运用加权算术平均数的推广公式，容易解答类似下列问题：

例：小明在初二（上）的数学考试成绩分别为：平时测验92分，期中考试90分，期末考试88分，如果按照平时、期中、期末成绩所占的权重分别为10%、30%、60%，则小明该学期的数学平均成绩是分。

借助公式，很快得出：=92×10%+90×30%+88×60%=89。

掌握了加权平均数的推广公式，要解决上述问题情境中的疑惑也就并非难事了。其实，在小亮的解答（100×5%+50×10%+20×20%=14）中，省略了部分内容，完整过程应该如下：

区域红色黄色绿色空白合计所占比例5%10%20%65%1奖励金额（元）10050200运用计算加权算术平均数的推广公式，得到：100×5%+50×10%+20×20%+0×65%=14（元）。

每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数14元，是转动一次转盘最有可能获得的金额数，所以转转盘更合算。这里的平均数14元，也称为转动一次转盘实验中的数学期望，顾名思义，就是顾客转动一次转盘最期待、最希望获得的奖券金额。

三、教学反思

看来，“数学期望”并不神秘，其实，它原本即来自生活。

据说，有一天，法国著名数学家布莱士•帕斯卡遇到两个赌徒，他们向他提出了这样一个问题：两人下赌注后，约定谁先赢满5局，谁就可获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，两人都不想再赌下去。那么，这个钱该如何分？

赌徒A认为：把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份。

赌徒B认为：因为最早说好的是谁先赢满5局，谁就可获得全部赌金。现在，谁也没达到，所以就一人分一半。

两人各持己见，谁也无法说服谁，于是找到了帕斯卡。帕斯卡经过一番思考，提出解决方案：赢了4局的拿这个钱的3/4,赢了3局的拿这个钱的1/4。理由是：假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢，就赢满了5局，钱应该全归他； A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1/2,所以，他拿的钱应该是1/2×1+1/2×1/2=3/4,当然，B就应该得1/4。

赌徒赌博，最期待的是什么？在公平的情况下，那就是赢钱的可能性越大越好，数学期望之名由此而来。

教学，顾名思义乃教师的教与学生的学之间的互动，教师的主导作用体现在调动学生学的主动性上。为此，在教学过程中，教师应当在了解学生现有认知水平和已有知识经验基础上，准确把握学生的学习状态，以做到有的放矢。上述问题情境中，学生想当然的结果与真实答案之间的不一致成为激发他们学习兴趣、调动他们积极求知的动力。教师可以领着学生通过回顾平均数等知识点，将其与当前问题情境联系起来，以便学生对新知识点的认知。

平均数是指在一组数据中所有数据之和除以数据的个数。平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的“总份数”。在统计工作中，平均数（均值）和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。这在小学阶段已有所接触，初中阶段则更进一步。

离散型随机变量X的一切可能取值xi(i=1,2,…,n)与对应的概率pi(i=1,2,…,n)的乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望，记为E(X)。数学期望是最基本的数学特征之一，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，又称期望或均值。如果随机变量只取有限个值，它是简单算术平均数的一种推广，类似于上述中的加权平均数的推广公式，pi(i=1,2,…,n)等同于fi(i=1,2,…,n)，E(x)等同于，区别在于把频率看成概率。尽管这是高中阶段的内容，但不妨碍学生深化对平均数的认知。

事实上，作为一门尤其注重逻辑性的学科，数学知识的各部分之间原本环环相扣，因此，教材中出现的部分内容，看似无关，显示无理，就更需要教师深入研究、探讨，找出知识生成的脉络，由浅入深，逐步引导，启发学生认知数学知识之间的关系，引发学生学习数学的兴趣，展现数学的美。换句话说，熟知教材，强化教师个人的知识储备与分析解决问题的能力以及对学生学习状态的把握是首要的。

参考文献：

\[1\]教育部.义务教育数学课程标准\[S\].北京：北京师范大学出版社，2011.

\[2\]覃光莲.数学期望的计算方法探讨\[J\].高等理科教育，2006（10

第3卷 第12期

2014年4月教育观察

Survey of EducationVol.3 No.12

Apr.2014