浅议数学问题解决中的类比迁移

数学教育的核心关键是如何运用已有知识解决现存问题。认知心理学认为，问题解决是个体有目的的对问题空间搜索的认知性操作过程，即个体运用一定的策略使问题从未知状态向已知状态的转化过程。问题解决过程需用运用已被个体认知的旧知识对新问题进行识别、定义、表征及策略的选择与应用，本文着重介绍了迁移中的类比迁移在数学问题解决中的运用。

一、 何谓类比迁移

迁移中的类比迁移被描述为当个体遇到一个新问题即靶问题时，往往会想起一个过去已经解决的相似问题即源问题，并从认识上倾向运用源问题的解决方法和程序去解决靶问题。所谓数学问题解决类比迁移就是利用上述理念和数学知识解决客观存在的问题。例如在数学方程中利用解二元方程解的思想去求多元方程的解。

二、 类比迁移的常见应用

数学问题解决中的类比迁移主要可以分为数学知识的类比迁移、数学结构的类比迁移、数学解题方法的类比迁移、数与形的类比迁移等，其效应举例如下：

1、 数学知识的类比迁移

数学知识包括数学概念、数学事实和数学原理等，看似不同数学题目却可能隐含着相同的数学概念、数学事实或者数学原理。认知结构中对相应的数学概念、数学事实或者数学原理已经建立完善后，在数学问题解决过程中就会应用。

例1、 某个商场的自动扶梯以匀速由下而上，两个学生嫌扶梯慢，于是在行驶的扶梯上，男学生每1秒向上走2个阶梯，女学生每2秒走3个阶梯。结果男孩用了40秒，女孩用了50秒到达，则该扶梯静止时共有多少级？

解析：此道扶梯题实则是航行问题知识的应用。学生往上走类似于顺水航行，学生的实际速度=行走速度+扶梯的速度，则扶梯数=(行走速度+扶梯的速度) ×行走时间。因此我们可以假设扶梯的速度为每1秒走X级，对于男学生来说，则扶梯数为（2+X）×40级，而对于女同学来说，扶梯数为（ +X）×50级，因此可得：（2+X）×40=（ +X）×50，解得X=0.5，所以扶梯共有（2+0.5）×40=100级。

2、 数学结构的类比迁移

数学结构的类比迁移就是对当前题目的结构形式与已知公式或者定理的结构进行类比，从而借用之以达到问题解决的目的。

例2、求函数y= 的最大值和最小值。

解析：这道题的函数表达式可以写成y= 与两点连线的斜率公式k= 的结构类似。于是在求函数的最大（小）值就可以类比为求斜率的最大（小）值。

例3、求解：—[ + + +……+ ]

解析：初看题干结构复杂不知从何入手，而仔细观察可以发现题目的结构和问题 + + +……+ 的结构相似，而此题解法为首先把问题分解为 ……+

3、 数学解题方法的类比迁移

数学解题方法类比迁移就是借鉴已掌握的数学解题方法如：消元法，降次法、特殊化法等而达到问题解决的目的。

例4、面积为S的菱形，绕其一边旋转一周所形成的旋转体的表面积是多少？

解析：这道题我们可以利用特殊化法。绕菱形的一边旋转一周得到的是不规则的几何体，计算比较复杂，而正方形是特殊的菱形，我可以可以菱形特殊化看作为正方形，则其边长为 ，所得旋转体为圆柱体，其底面半径R= ，高L= ，于是圆柱体表面积=侧面积+2个底面积。

例5、将15本没有区别的图书分到编号为1、2、3、4的图书馆，要求每个图书馆分得的图书不能小于其编号数，共有多少种不同的分法？

解析：这道题中书是相同的，不用考虑顺序，因此可以判定为组合问题。

在解题过程中如果用常规的组合问题的解决方法需要先将1、2、3、4本书分到4个图书馆中，再将剩下的5本书分为：5本书分到图书馆中的任何一个即C41=4种情况；5本书分成（1+4）两份，分给1、2、3、4中的两个图书馆则有C42×2=12种情况；5本书分成（2+3）两份，分给1、2、3、4中的两个图书馆则有C42×2=12种情况；5本书分成（1+1+3）三份，分给1、2、3、4中的三个图书馆则有C43×3=12种情况；5本书分成（1+2+2）三份，分给1、2、3、4中的三个图书馆则有C43×3=12种情况；5本书分成（1+1+1+2）四份，分给1、2、3、4中的四个图书馆则有C41=4种情况，所以一共有56种。

解题时如果先将问题转化为“n件相同的物品分成m堆，每堆至少一件”这个标准问题，再运用组合问题中的插板法这一特殊方法，则问题解决起来就方便的多。先给编号2、3、4号的图书馆分别分1、2、3本书，则还剩下9本书，这样就变为“9本书分给4个图书馆，每个图书馆至少一本”，根据插板法公式可知，有C83=56种。

4、 数与形的类比迁移

数学问题解决中的数与形的类比迁移就是利用数式与图形之间的相互转化解决实际问题。此中将数式转化为图形来处理更为常见，因几何图形较直观。

例6、甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。假设他们都在10点到10点半的任何一个时间来到见面地点，则两人见面的概率有多大？

解析：本题初看是个概率问题，却无法用常规的解决概率的方法来解决。分析题目，仅包含甲到达的时间与乙到达的时间两个信息，因此可以考虑建立坐标系，如下图所示，X轴对应为甲到达的时间点，Y轴对应为乙到达的时间点。那么全部的区域即矩形的面积，根据题目要求，二人能够见面的即要求 15。

当x>y时，x-y 15, 则y x-15；当x

因此两人能见面的概率= = =75%

例7、a + b =14, a>0, b>0. 求 + 的最小值。

解析：题干仅告诉了a + b =14这个信息，因此我们可以假设a 与 b为一条长为14厘米线段的两个端点，从而可构造出一个图形为：其中令 AQ=a, BQ=b, AC=3, BD=5.

则CQ= , DQ=

所以 + =QC+DQ CD,当且仅当H与Q重合时，等号成立。从而可知CD为 + 的最小值。

三、 影响数学问题解决中类比迁移的因素

1、新旧问题间在知识、结构和情境上的相似性。相似性越大，越容易产生类比迁移。

2、教师的提示和引导。迁移是一种策略，是需要引导和培养的。教师有效的提示和引导会帮助学生搜索和提取认知中相似问题的解决策略。

3、数学基本知识的理解和掌握程度。对相关基本知识的理解和掌握程度越高，概括水平越高，越容易唤醒共性意识水平，类比迁移也就越容易产生且迁移范围就越大。

4、知识管理能力。知识管理能力高的个体在遇到新的数学问题时，就能积极主动的对认知结构中的有效知识进行搜索、组合和管理，以促进数学问题的解决。

总之，类比迁移在教、学的过程中经常用到，对提高学生的解题能力，创新能力和认知能力都有非常重要的意义。