用好“组合拳”,攻克函数值域问题

值域问题是函数中的重要内容，其思想和应用渗透于高中数学的各个章节. 然而由于基本初等函数的种类繁多，由其所构造的复合函数更是“千姿百态”，这就使得函数值域问题的求法具有多样性（比如配方法、分离常数法、判别式法、换元法、导数法、函数单调性法、图象法等），而正是这种多样性，导致了同学们在面对具体问题时，方法上难以抉择，思想上难以理清，不知以何种方法作为思维的起点. 这里就涉及了求函数值域时的思维路线问题. 细心的读者也许会发现，这些方法其实可以分为两类，一类只是针对某些特定函数时的特殊方法（如配方法、分离常数法、判别式法），而另一类是适合于所有函数的通法（如函数单调性法和图象法）；至于换元法和导数法，笔者以为，它们只是求函数值域的必要手段和工具，其本身并不能单独求出函数值域. 那么，如何构建函数值域问题的思维路线呢？

我们知道，单调性是函数的重要性质，只要了解了一个函数的单调性，就可求出其值域. 同样，了解了一个函数的单调性，即可作出函数的大致图象，由图象法求其值域. 因此，这两种方法均可作为求函数值域的通法. 只是对于单调函数来说，作图已经没有必要，直接由单调性法求值域更为轻松；而对于非单调函数来说，虽然也可由单调性法解决，但图象法往往更为简单. 因此，笔者认为，可将判断函数的单调性作为思维的起点，将作出函数的图象作为思维的终点，而将换元法和导数法作为沟通起点或终点之间的“使者”，以此来构建函数值域问题的思维路线. 具体步骤为：首先判断函数y=f（x）（x∈D）在D（可以是函数的定义域，也可以是定义域的某个子区间）上是否单调，若是，则用函数单调性法求解；若不是，对于基本初等函数或通过换元可转化为基本初等函数的复合函数，用图象法解决，而对于无法通过换元转化为基本初等函数的复合函数，则先用导数判断单调性，然后再由图象法求解. 下面笔者先介绍有关方法，然后举例佐证.

1. 函数单调性法求值域的依据

（1）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]（a

（2）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

2. 基本初等函数按单调性分类

透彻了解基本初等函数的单调性和图象是运用函数单调性法和图象法求值域的前提. 笔者将基本初等函数按其连续性和单调性分为如下两类：