利用数形结合思想提高中学生的数学能力

【摘 要】在中学数学教学过程中，通过数形结合思想来提高中学生的数学能力对于学生在中学阶段数学科目的学习具有重要意义。本文从初中阶段“数形结合”思想的内涵及数形结合思想在初中数学知识点中的体现着手进行分析，根据初中数学教学的实际情况分析了中学生在利用数形结合思想解题中容易出现的问题，并在此基础上提出了利用数形结合思想提高中学生数学能力的四个具体步骤：从题目所问问题入手，对题目进行认真分析；认真审题，对已知条件进行标记；充分挖掘题目中所给的隐含条件，并在此基础上绘图或分析所给图形；按照题目所提供的条件与学生知识结构中的定理或公式相结合并解题。

【关键词】数形结合；中学生；数学能力

数形结合思想是解决数学问题的重要思路之一，这种解题思路可以广泛运用于初中数学的教学内容如几何、方程式及应用题中。通过不断为学生建立数字与图形之间的联系，学生可以将图形与自己已有的认知结构建立联系，使学生在解题过程中学会运用数形结合思想分析数学题目并解决题目的良好思维习惯，从而有助于提高中学生的数学能力。

一、数形结合思想概述

1、初中阶段“数形结合”思想的内涵

在初中阶段所指的数形结合思想是指将数学题目中抽象的数字与题中所给的图形相结合进行解题的过程，或学生根据题目所给数据亲自绘制出与数据相符的形象的图形，通过图形与数字的相互配合达到理解题目，解答题目的过程。数形结合在初中阶段的运用可以概括为将抽象转化为具体[1]，将单纯数据转化为数形结合，从而达到有效帮助学生理清思路，实现快速解题的目的。

2、数形结合思想在初中数学知识点中的体现

数形结合思想在初中代数及初中几何中都有所体现。如初中数学“抛物线”的知识点就是数形结合思想的很好例证。这一知识的掌握要求学生能够通过题目所给数据绘制出具体图形并在此基础上进行解题，再如“数轴”知识内容的掌握也需要学生能够紧密结合数形思想进行解题。

例题：实数a、b上在数轴上对应位置如图3-3-6所示，

则 等于（ ）

A.a B.a-2b C.-a D.b-a

在这一题目中，“数轴”本身就是一个初中数学知识中一个特定的图形，根据这一图形所涉及到的数学知识点包括正数，负数，绝对值及实数等，而教师在讲解这些数学知识时通过绘制一个具体的数轴图形为学生进行讲解便可以使学生通过形象的图形很好的理解所学内容。

二、中学生在利用数形结合思想解题中容易出现的问题

在实际教学中可以发现，中学生由于对某些题目存在一定的思维定势或审题不认真等情况，导致在使用数形结合思想进行解题时常出现各种问题。

1、将题目所给图形或数据简单理解为看懂图内数据即可答题

例题1：2005，某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3-3-2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？

答题要求：

（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析式。

分析：本题要求学生能够对所给图形进行精准的分析，按照图形内所给数据对题目进行认真思考、找到相关解题公式的基础上对题目进行作答。本题涉及到运用二次函数的性质、增减性、对称性及最大（小）值等内容，因此，学生如将图形数据进行简单观察后即给出题目答案就会出现解题错误的情况。

2、学生的思维定势影响了数形结合思想在实际教学中的应用

在实际的学习中教师可以发现，许多初中生在学习数学知识时常存在这样的现象：在分析问题时常依赖于自己已形成的思维定势习惯，对问题不愿意从不同角度进行分析和思考，而是习惯于用已学过的公式和定理进行生搬硬套，将图形内容简单理解为提供数据，对图形没有进行深层次的研究。

例：某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3-3-1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

（1）求y1与y2的函数解析式；

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？

（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

分析：本题中所运用到的知识点主要是函数知识，图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.按照这样的思路，结合所给图形可以准确对本题进行解答如下：

（1）y1=20x，y2=10x+300.

（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元.

（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案.

三、利用数形结合思想提高中学生数学能力的四个步骤

1、从题目所问问题入手，对题目进行认真分析

教师在为学生进行数学题目的讲解时，可以有意识的将数形结合思想融入授课内容中，使学生在对题目进行分析时能够主动的运用所形成的数形结合思想对题目进行初步的分析和思考。以讲解勾股定理为例，教师在为学生讲解本节知识点内容时可以首先为学生绘制一个形象的三角形，在此基础上提出几个与勾股定理相关的问题引导学生对所给图形进行思考。在经过学生的思考过程后，教师再为学生详细讲解课程重点内容，使学生在这一过程中体会到数字和图形可以有效结合为解题服务。

2、认真审题，对已知条件进行标记

认真审题是正确完成一道数学题目的关键所在，为了通过数形结合思想提高学生的数学能力，教师在授课时应多培养学生养成良好的学习习惯，指导学生在遇到数形结合的数学题目时要将已知条件进行标记，并对图形进行多次观察和分析，不要在不进行任何分析的情况下就盲目答题。

例：某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3-3-3所示的条形统计图：

题目要求：

（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息；

（2）请根据条形统计图中的数据补全如图3-3-3所示的扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点？

（3）请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

分析：统计分布图在中学数学题目中的比重正在逐年加大，统计图可具体分为：条形。扇形、折线，如何对各种不同类型的统计图进行分析并从中获得有用信息是中学生所必须掌握的内容之一，这就要求学生在进行解题的过程中一定要认真读题，从所给图形中找到解决问题的突破点。

3、充分挖掘题目中所给的隐含条件，并在此基础上绘图或分析所给图形

在解决应用题目时，如工程问题，题目中所给的数量关系往往较为隐蔽，学生在解题过程中不仅要读懂所给的已知条件，更要能够找到题目中所暗含的条件。为了更好地解答这类型题目，教师可以借助画图帮助学生理清思路，提高学生解答应用题的能力。

例：建筑工程对修筑一条高速高路，原计划每天修500米，实际每天多修了100米，最终提前4天完成了修筑公路的任务。问这条公路全长多少米？

分析：由于公路的总米数不变，所以“原计划每天修路的米数×原计划修路的天数=实际每天修炼的米数×实际修路的天数”，按照这一思路，教师可以引导学生画出相应的线段图来挖掘出本题隐含的数量关系，从而正确解答本题。

4、按照题目所给条件与学生知识结构中的定理或公式相结合并解题

著名心理学家桑代克曾经说过，对于一个已形成的可变连结，若不断加以应用，该连结就会变强；若长久不应用本已形成的可变连结，该可变连结的使用程度就会变弱[2]。若将该心理学理论应用于初中数学教学中可以将本理论理解为，教师在数学教学中要注重教学内容的连贯性，对于重点定理及公式的教学应在学习过程中经常予以强调及复习，通过为学生设计练习题达到学生对所学知识的灵活运用。

要能够准确快速的解答数学题目，学生应对所学的公式及定理能够熟练进行运用，将题内所给已知条件与学生知识结构中的已有的定理或公式相结合并最终正确解题。以初中学生学习的函数知识为例，当学生在熟练掌握了二次函数的相关知识后，教师在教学过程中引导学生回答如下问题：平面上两点A（0，3）、B（3，0），函数y=-x2+mx-a（M为参数）的图像在运动过程中总与线段有两个不同的交点，求m的最大值[3]。在经过将学生已有认知结构中的知识内容与新知识进行结合的训练后，既有利于学生对已有知识的巩固，同时也培养学生运用所学知识解决新问题的能力，从而有效的提高中学生的数学能力。

参考文献：

[1] 李侠.浅谈“数形结合”在初中数学中的应用[J]，新校园学习，2010，5：154.

[2] 胡炯涛.数学教学论[M].桂林：广西教育出版社，1996：50.

[3] 刘会芳. 浅谈数形结合思想的课堂灌输[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2003，3：118.