“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用

转化与化归思想是高中数学最重要的思想之一，它的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，数学问题的解决基本上是通过转化为已知或已解决问题实现的。从这个意义上讲，一个数学问题的解答过程就是一个从未知向已知转化的过程。数学思想的作用是无声的，蕴涵于一个个具体的数学问题的解答过程中，要寻找它的踪迹，也必须先深入到数学问题中。现在让我们在一些具体的问题中去体会“转化化归”的思想方法。

一、在函数与不等式问题中的应用。

函数与不等式的内容在每年的高考中几乎占去了三分之二，函数与不等式问题的内容丰富多变，解法灵活多样，是高考考查的重点也是难点。函数的三要素中定义域和值域都与不等式紧密相连，很多函数问题与不等式问题是相互交错的，一些特定的函数问题和不等式问题直接求解相对比较困难，可运用转化的方式进行等价求解。如解分段函数的“最值”问题或求方程解的个数问题。

例如：“证明不等式 ，其中x≥1”这种问题，如果按照常规的思维用不等式的证明方法如比较法分析法等很难下手，但是转换一个角度，将它视作要证明函数：

的值恒大于0，只需要利用导数考查函数的单调性，求最小值，问题就很解决了。证明一个数学命题，实际上是由假设经过推理以得出结论，当直接处理不容易时，往往我们会先考虑它的等价命题或者辅助命题，去寻求解题的思路。原命题的等价命题或辅助命题的证明必须是我们所熟悉的知识和方法。这种运用等价问题法和构造函数法在解答一些直接处理很难下手的函数或不等式问题时非常有用，体现了“转化与化归”思想的熟悉化原则和简单化原则。

从新课改的课程内容设计来看，作为数学的基础性内容，函数、不等式和方程仍然是比重最大的一块，这三者的关系密不可分，三者之间问题的相互转化也是其问题设计的一个重要指导思想，“转化与化归”的思想方法有着大量的运用和体现。

二、在平面与空间几何问题中的应用。

新课程标准在几何部分有较大的修改和变动，删去了三垂线定理及其逆定理等，而且平行关系和垂直关系的判定和性质定理的证明都只给出一个。新课程下的立体几何课程定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑思维能力，并突出直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等探索研究几何的过程。这让习惯了借助三垂线定理及其逆定理处理空间角和距离问题的数学老师很不适应，在这种情形下，利用向量的工具性将空间图形的位置关系问题转化成代数计算问题将是最好的方法。利用向量可以证明空间图形的平行与垂直关系，可以求空间角和距离，而且所运用的公式简单易懂，容易掌握。下面的这个例题是比较常见也是常考的一个类型。

例如：已知在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，∠BAC=90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=2，AC=1，PA=2。

⑴求直线PA与平面DEF所成的角的大小；

⑵求点P到平面DEF的距离。

这个问题的解答只需要建立空间直角坐标系，利用“法向量”再借助相应的公式就解决了。高中数学“法向量”的引入和运用对高中立体几何的解题起到了一种革命性的作用，抛弃了传统方法中繁复的添加辅助线的过程，将几何问题直接代数化。

三、在数列问题中的应用。

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对数列的知识考查比较全面，其中数列与其它知识的整合是重点考查的内容，尤其是对递推数列的考察往往难度较大。解数列问题往往是以等差和等比数列为基础，通过转化将一个不具备等差或等比数列特征的数列转化为等差、等比数列问题求解。如下例：

例如：已知数列{an}满足：a1=，且，

求数列{an}的通项公式。

数列问题研究的是一列数之间的代数关系，这种关系大多是隐性的，这种隐性的关系往往难以直接找到，需要对问题予以转化才能求解。解答例4中的问题，需要先构造一个与an相关的等比数列，先求出该等比数列的通项公式，才能求出数列{an}的通项公式。一些常见的求递推数列通项公式的方法如叠加法、累乘法、待定系数法特征根法等都是运用转化的思想将一个不具备等差或等比数列性质的数列通项问题转化为求等差或等比数列的通项问题加以解决。

四、在曲线与方程问题中的应用。

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是每年高考的必考内容，圆锥曲线除了对基本性质的考查，每年都会有一道综合应用题，常以定值问题、最值问题、范围问题等面貌呈现，属于知识的交汇点，常常需要运用参数法或者换元法对原问题加以转化。我们来看下面的例题：

例如：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到点P的距离等于x，y的点的坐标。

本题在求椭圆上的点到点P的距离时，直接使用变量，很难寻到出路，但是若利用椭圆的参数方程进行三角换元，就可以转化成一个三角函数值的范围问题。这种解法颇有些“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的味道。换元法作为化归转化方法中的核心方法，在运用过程中又衍生出整体换元法、平均数换元法、比值换元法、三角代换法、不等量换元法、根式换元法、倒数换元法、相反数换元法、坐标换元法等具体的方法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的应用。数学思想的生命力是植根于数学问题的，离开了问题去寻找数学思想无异是缘木求鱼。