利用图像法解一元二次不等式

【摘要】本文阐述了如何利用图像法解一元二次不等式的教学过程：1.复习引入，展示目标；2. 启发诱导，画龙点睛；3.课后小结，复习巩固。并得出：在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的最终目标。

【关键词】一元二次不等式；图像法；数学；画龙点睛

一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一，从教学内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程与函数等数学思想，这些内容和思想在中学数学中产生广泛而深远的影响。教材中通过实例介绍了一元二次不等式的概念和结合二次函数y=x2-5x的图像，得x2-5x≤0的解集；在新教材的安排上，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。一元二次不等式的解法是研究函数的定义域、值域等问题的最重要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。针对我校学生特点，笔者在讲授此节内容时，采用了如下的教学过程：

一、复习引入，展示目标

设问一：我们在初中学习了一元二次函数的图象和性质，你能求出一元二次函数y=x2-x-2与x轴的交点吗？

启发诱导学生x轴上的点的特点是y坐标为零，于是令y=0，即x2-x-2=0求得交点坐标为P1（-1，0），P2（2，0），从而得出结论：

一元二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根：有两个不相等的实数根，则有两个不同的交点；有两个相等的实数根则有一个交点；没有实数根则没有交点。

这是揭示二次函数、二次方程和二次不等式三者关系的关键，是突破本课难点的重要环节。

追问1：你们能画出这个二次函数的草图吗？

启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，鼓励学生自已动手画出草图。（然后由多媒体展示出电脑所画出的标准图形，让学生观察和比较）

追问2：你们能在抛物线上找出纵坐标y>o的点吗？

诱导学生纵坐标取正值的点位于x轴的上方，取负值的点位于x轴的下方，从而得出正确答案。（这时用多媒体动画展示结果）

追问3：纵坐标y > 0的那些点所对应的横坐标x取哪些数呢？

诱导学生得出结论：

接着，以同样的方法引导学生找出y

（这时，用多媒体动画展示出x的取值范围）

反问：这难道不是解一元二次不等式的一种方法吗？

在以上一系列的设问、追问和反问中水到渠成地揭开本课的课题，学生恍然大悟。此时教师已运用多媒体的教学手段让学生初步领略到图象法解一元二次不等式的基本原理和基本步骤。

二、启发诱导，画龙点睛

在前面讲过一元二次不等式的一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c 0的情况，若a < 0时，只需在不等式的两边同乘以-1，把二次项系数变为正便可。

【例一】，解下列一元二次不等式：

（1）x2-x-6>0 （2）-x2+3x+10≥0 （3）x2-x-1

说明：

其一：设计例一的目的是让学生掌握Δ>0这一最常见类型，它又分为两种情况——可用十字相乘法的情况和只能用求根公式法的情况。

其二：通过（1）达到让学生掌握图象法解一元二次不等式的基本原理（数形结合）和基本步骤（求根——画图——找解）；

其三：通过（2）使学生注意二次项系数为负时的处理方法；通过（3）使学生认识到不能用十字相乘法时还可用求根公式法。经过点拨，让学生自己动手找出问题的答案，最后教师用多媒体显示结果并和学生一起归纳出图象法解一元二次不等的基本步骤：求根——画图——找解，并戏称“三步曲”。

其四：引导学生画图时，抓住问题的本质，可以将y轴省略不画，使得图象更利于观察。以此培养学生从纷繁复杂的事物中洞察本质的能力，并体会“去繁就简，去粗取精”这一数学中的简约美。引导学生观察不等式的解集和方程的根之间的关系：“小于取中间，大于取两边”。让学生在了解其来历的基础上真正理解口诀的意义，防止单一地教给学生这一“教条”，避免让学生思维疆化。

【例二】，解下列一元二次不等式：

（1）2x2-4x+2≥0 （2）-2x2+4x-2>0

有例一作为基础，再通过例二解决第二类型：Δ=0时的解法。鼓励学生仍按例一的步骤进行，并启发学生：当方程有两个相等实根时意味着抛物线与x轴只有一个交点，从而引导学生画出正确的图形，同时强调当二次项系数为负时，需首先变为正处理。

变式提问：你们能根据上图找出不等式2x2-4x+2>0， -2x2+4x-2≥0的解集吗？

鼓励学生大胆讨论，仔细观察图象得出正确答案。（通过变式，培养学生思维的灵活性和深刻性，进一步深化图象法的基本要领。）

【例三】，解下列一元二次不等式

（1）2x2-4x+3>0 （2） 2x2-4x+3≤0

通过例三让学生掌握Δ

三、归纳总结

提出问题：这节课你们学到了什么？

教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用上张表展示出来，告诉学生不必死记硬背，而是掌握其数形结合的基本原理和基本步骤。

四、课后思考

不等式① x2-x-6>0；② -x2+3x+10≥0您还有其他解法吗？（为后面简单的分式不等式的解法作准备）

总之，“授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的最终目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。