利用数学建模理论整合化学实验计算

导读::应用数学知识将化学实验中的计算问题抽象成为数学问题,概括归纳成数学模型,再借助数学建模有关理论知识去加以解决,是数学理论在实践学科的实际应用。以实物模型或数据模型为目的来进行的研究课题,表现在比例方程模型、代数方程模型、几何画板模型、排列组合模型、数列极限模型、数列求和模型、极值思维模型等方面。

关键词:数学建模,数学模型,化学计算

数学建模理论的设计应用是近年来新课程教改的重要体现。将化学问题抽象成为数学问题,利用数学工具,结合化学知识解决化学问题,是化学解题能力训练的最高层次。在我们以往的教学中较为重视教学内容的知识性把握和模仿训练,而较忽视思维能力训练的方式和过程。将化学计算知识抽象成为数学问题,概括归纳建立数学模型,以实物模型或数据模型为目的来进行的带技术性的研究课题, 就是建模应用式的研究性学习,是数学理论在实践学科的实际应用。

1 数学模型与数学建模概念

数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式,算法、表格、图示等。

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言,把它表述为数学式子,也就是数学模型,然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题,并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。

2 利用数学模型解决化学计算的意义

化学计算的目的不仅在于化学实验的数据处理,教学的意义更在于学生解题能力的培养和素质训练数学模型,利用数学模型解决化学计算的意义,初步归纳一下,有以下几个方面:

⑴利用数学模型解决化学计算,能提高学生的逻辑思维能力,使他们思路清晰,条理分明,有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。

⑵有助于培养学生认真细致、一丝不苟的科学态度和学习习惯。

⑶数学上追求的是最有用(广泛)的结论、最低的条件(代价)以及最简明的证明,可以使学生形成精益求精的风格,凡事力求尽善尽美。

⑷通过建立数学模型、再到解决实际问题的全过程,提高他们运用数学知识处理现实生活中各种复杂问题的意识、信念和能力。

⑸通过利用数学模型解决化学计算的训练,可以使学生增强拼搏精神和应变能力,能通过不断分析矛盾,从表面上一团乱麻的困难局面中理出头绪,最终解决问题。

⑹可以调动学生的探索精神和创造力,使他们更加灵活和主动,发现不同的教学领域或教学理论之间的内在联系、拓展学科知识的应用范围以及解决现实问题的能力,逐步显露出自己的聪明才智。

⑺使学生具有某种数学上的直觉和想象力、判断力,能够根据所面对的问题的本质或特点,八九不离十地估计到可能的结论,为实际的需要提供借鉴。

数学建模解决化学计算的开展,通过发挥其独特的作用,无疑为实施素质教育作出重要的贡献。第三世界科学院院士、复旦大学教授、数学模型专家李大潜说:“数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径。”

3 构造数学模型整合化学实验计算

3.1比例方程模型——算法模型

利用化学方程式的比例关系,计算反应物的用量或求解产物,是化学实验计算教学中的一大类型。在高中阶段,可以利用质量(摩尔质量)、体积(气体摩尔体积)和物质的量三种物理量同时计算,方法是:给什么,用什么;求什么,设什么;(比例式)上下单位同一。方法使用举例说明如下。

[例1] 求5.4gAl与足量盐酸反应生成氢气的体积?消耗6mol/L的盐酸多少毫升?

解:

3.2代数方程模型——公式模型

[例2]在25℃时,10体积强酸和1体积强碱混合恰好呈中性,则强酸和强碱的pH之间应满足什么关系?

分析:由于pH与数学中的对数知识相关联,本题可利用数学中的对数来解决。

解:设强酸pH= -lg[H+]=x,则知[H+]=10-x;

同理设强碱pH=y=-14+lg[OH-],则知[OH-]=10y-14。

由于2者混合后溶液呈中性,有:V强酸·[ H + ]=V 强碱 [OH - ] 1010 -x =110 y-14 10 1-x =10 y-14 1-x=y-14 x+y =15。 3.3几何画板模型图示模型 [例3]在20.00mL盐酸酸化的AlCl 3 溶液中加入0.1

0mol/L的NaOH溶液,发现当加入4.00mL后,开始出现沉淀,且当加入到10.00mL和18.00mL时,出现的沉淀一样多,试求当加入多少毫升NaOH溶液时,产生最大量的沉淀,当加入多少毫升NaOH溶液时,沉淀完全消失?

分析:此题用常规解法,过程较复杂,但如果根据化学变化关系构造方程数学模型,并结合函数图像进行分析,可大大简化计算过程。

由反应式:AlCl3+3NaOH=Al(OH)3+3NaCl……(1)

Al(OH)3+NaOH=NaAlO2+2H2O……(2)

(1)式中NaOH与AlCl3的反应比例(3:1)可构造直线AC,如图1。

(2)式中NaOH与Al(OH)3的反应比例(1:1)可构造直线CB,如图1。

题意可转化为:

已知A(4,0),E(10,0),F(18,0),求C和B点的横坐标下载。

解:①由斜率 kAC=1/3和A(4,0)知直线AC的方程为y =1/3(x-4)。

设B(t,0),由kCB=-1知直线BC方程为:y=-1(x-t)

又G点和H点的纵坐标相同,得:

1/3(10-4)=-1(18-t)

t =20(此时沉淀完全消失)

②联立方程组y =1/3(x-4)、y=20-x

解得20-x=1/3(x-4) x=16(此时沉淀最多)。

3.4排列组合模型——算法模型

排列组合在分析原子、离子等组成物质种类,结构单元等问题时可以将具体问题抽象化,可以简化解题过程。

[例4]:已知氢元素有1H、2H、3H三种同位素,氧元素也有16O、18O二种同位素。它们之间形成化合物的种类有( )[1]。

A. 30种B.18种 C.21 种D.33种

解析:可以形成的化合物有H2O和H2O2两种。

对H2O而言:

当其中两个氢原子是同一种原子时H2O的种数为C31×C21=6(种);

当其中两个氢不是同一种原子时H2O的种数为C32×C21=6(种);

所以H2O有C31×C21+C31×C21 =6 +6 =12种;

对H2O2而言:

当其中的两个氢原子,两个氧原子都是同一种原子时H2O2的种数为C31×C21 =6(种);

当其中两个氢是同一种原子,氧原子不同种原子时H2O2的种数为C31×C22 =3(种);

当其中两个氢是不同种原子,氧原子是同一种原子时H2O2的种数为C32×C21 =6(种);

当其中的两个氢原子,两个氧原子都不是同一种原子时H2O2的种数为C32×C22 =3(种)。

所以H2O2有C31×C21+C31×C22 + C32×C21+ C32×C22 =6+3+6+3=18种;

可以形成的化合物有H2O和H2O2=12+18=30种,故选答案A。

3.5数列极限模型——算法模型

通项和极值知识在讨论有机分子通式中常常加以应用。

[例5].有一系列有机物按以下顺序排列:CH3CH=CHCHO、CH3CH=CHCH=CHCHO、CH3(CH=CH)3CHO…在该系列有机物中,分子中含碳元素的质量分数最大值最接近于:

A.95.6% B.92.3 %C.85.7% D.75% 解析:它们分子式变化体现了等差数列,该系列化合物通式为C 2n+2 H 2n+4 O,该系列化合物碳元素的质量分数为 : 当 时, 极限值存在,即为最值, 由于 所以答案为B。 3.6数列求和模型公式

模型

[例5]工业上用水吸收二氧化氮生产硝酸,生成的气体经过多次氧化、吸收的循环操作使其充分转化为硝酸(假定上述过程中无其它损失)。

①试写出上述反应的化学方程式。

②设循环操作的次数为n,试写出NO2HNO3转化率与循环操作的次数n之间关系的数学表达式。

③计算一定量的二氧化氮气体要经过多少次循环操作,才能使95%的二氧化氮转变为硝酸[1]?

解析:①工业上用水吸收二氧化氮发生的反应有:3NO2+H2O=2 HNO3+NO,2NO+O2=2NO2;

  ②工业上用水吸收二氧化氮,生成的气体经过多次氧化、吸收的循环操作使其充分转化为硝酸。可以看出1molNO2经过一次3NO22HNO3转化率2/3,同时产生1/3molNO,经过n次循环后生成HNO3的物质的量Sn是以首项2/3,公比为1/3的等比数列,所以Sn=2/3+2/3 ×1/3 +2/3×1/32+……+2/3×1/3n-1=1-1/3n。NO2HNO3转化率为(1-1/3n)×100%

③(1-1/3n)×100%=95%,因此,n=2.6≈3,要经过3次循环操作才能使95%的NO2转化为HNO3 。

3.7极值思维模型——算法模型

中学化学试题中关于混合物计算,是历年高考命题的热点试题,由于混合物中成份量不知,发生化学反应时哪种物质过量无法确定。给解决问题带来困难,若在解题时把混合物中某一成份量放大到一个极值进行思考和判断。将使解题过程大为简化,极大的方便了解题。

[例6]今有碱金属元素R及其氧化物R2O的混合物10.8克,加入足量的水充分反应后,生成碱的质量为16克,试通过计算确定R为哪一种碱金属。

解析:学生一般常用混合物10.8克和ROH 16克进行列方程解题,由于有三个未知数数学模型,无法得出正确结论,则解此题将很困难。

如果运用数学极值的思维方法思考,假设10.8克全是R,很容易解出R的相对原子质量为35 。若假设10.8克全是R2O,列方程很快解出R的相对原子质量为11。

综上可以确定R相对原子质量的范围为:11 < R < 35, 碱金属只能是 Na,相对分子质量为23 。

答案:R为碱金属Na。

以上几例仅作代表,从中可以看出,只要我们在教学中仔细观察,精心设计,可以把一些较为抽象的问题,通过现象除去非本质的因素,从中构造出最基本的模型,使问题回到已知的知识领域,简化具体步骤,优化解题方法,更好地培养学生的创新能力。

在化学教学中构建学生的建模意识、培养模型方法与素质教育所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成,密不可分的。要真正培养学生的创新能力,光凭传授知识是远远不够的,重要的是在教学中必须坚持以学生为主体,教师的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性,培养学生的创新思维为出发点,引导学生自主活动,自觉地在学习过程中构建建模意识,只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步[2]。

参考文献:

[1]宋卫成.例说数学在化学中的作用[J].数学教学2009(4):36.

[2]汪文翔.谈运用模型方法与培养学生能力[J].化学教育.2004(12):32