一道高考题的多种解法及启示

2012年普通高等学校招生全国统一考试全国大纲卷理科20题是一道集函数、导数、不等式多个知识点的综合题，本文给出第（Ⅱ）问的三种解法.

题目：设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性.（解法略）

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，x∈[0，π]，求实数a的取值范围.

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方法一：设g（x）=ax+cosx-1-sinx，x∈[0，π]，g'（x）=a-sinx-

cosx=a-■sin（x+■），当x∈[0，π]时，■sin（x+■）∈[-1，■].

（1）若a≥■，则g'（x）≥0，g（x）在[0，π]上单调递增，g（x）max=g（π）=πa-2≤0，则a≤■，所以a∈φ.

（2）若a≤-1，则g'（x）≤0，g（x）在[0，π]上单调递减，g（x）max=g（0）=0≤0，所以a≤-1.

（3）若1π-2>0.

（4）若-1

评析：含参数不等式恒成立问题源自于函数的单调性，本质是比较函数值的大小，对函数单调性的讨论是求解这类问题的通性通法.关键是构造出易判断导函数符号的函数，紧紧盯住对函数单调性讨论求解.

方法二：ax+cosx≤1+sinx，x∈[0，π]，即ax≤1+sinx-cosx，x∈[0，π]，即ax≤1+■sin（x-■），x∈[0，π]，设h（x）=1+■sin（x-■），x∈[0，π]，g（x）=ax，x∈[0，π].

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由图象可知，使ax≤1+■sin（x-■），x∈[0，π]成立的充要条件是g（π）≤h（π），即πa≤2，故a≤■，所以a的取值范围是（-∞，■].

评析：我国著名数学家哈家定先生说过，化归转化是解决数学问题最有力的“杆杠”，不等式恒成立问题可以进行等价转化，转化为两个函数图象的关系问题，数形结合，简洁有力.

方法三：因为ax+cosx≤1+sinx，对任意的x∈[0，π]都成立，所以x取特值π也成立，即f（π）≤1，由此解得a≤■，下面只需证明a≤■具有充分性.

设g（x）=sinx-cosx-■x+1，x∈[0，π]，g'（x）=cosx+sinx-■=■sin（x+■）-■>0，则g（x）在[0，π]上单调递增，因此g（x）≥g（0）=0所以当a≤■时，g（x）=sinx-cosx-■x+1≥sinx-cosx-ax+1≥0

综上所述，a的取值范围是（-∞，■].

评析：牛顿曾指出：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”因此，在解题过程中要善于运用合情推理。“特值引路，先猜后证”，即通过特值猜想求出使问题成立的必要条件，再证明其具有充分性.这种方法在最近几年的高考试卷多次出现，随着新课改的深入，高考对猜想能力的考查将日趋加强.