动起来 思起来 勘起来

在学习空间几何体的表面积和体积问题时，利用表面积和体积公式计算有关的问题，常会

由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误.

一、动起来，防止公式记忆错误致误

例1 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧

面积.

错解 设底面菱形的边长为x，

则（[KF（]2[KF）]x）2+52=92，

所以菱形的边长x=2[KF（]7[KF）]，

所以S=4×2[KF（]7[KF）]×5=40[KF（]7[KF）].

剖析 直棱柱的侧面积为底面周长乘于高.错解中把底面菱形当成了正方形.

正解 设底面两条对角线的长分别为a，b，

则a2+52=92，b2+52=152，

得a2=56，b2=200.

所以菱形的边长

x=[KF（]（[SX（]a[]2[SX）]）2+（[SX（]b[]2[SX）]）2[KF）]=8.

因此S=4×8×5=160.

点评 脑要动起来，正确分析题目中的已知条件，从而确定出侧面积.

二、思起来，分清楚多面体与几何体的结构特征

例2 在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是5π cm2、8π

cm2，求球的面积和体积.

错解 画出轴截面，如图1.圆O是球的大圆，A1B1、A2B2分别是两条

平行截面圆的直径，过O作OC1A1B1于C1，交A2B2于C2.

由于A1B1∥A2B2，所以OC2A2B2.

由圆的性质可得，C1、C2分别是A1B1、A2B2的中点.

设两平行平面的半径分别为r1、r2，且r1>r2，由题意得

πr21=8π，πr22=5π，

所以r21=8，r22=5.

又OA1、OA2都是球的半径R，

所以OC1=[KF（]R2―r21[KF）]=[KF（]R2―8[KF）]，

OC2=[KF（]R2―r22[KF）]=[KF（]R2―5[KF）]，

所以[KF（]R2―5[KF）]―[KF（]R2―8[KF）]=1，

解得R2=9.

所以S球=4πR2=36π（cm2），

V球=[SX（]4[]3[SX）]πR3=36π （cm3）.

剖析 错解中只考虑了两个平行截面位于球心的同侧，而忽略了两个平行截面

位于球心两侧的情况.

纠正 （1）当两个平行截面位于球心的同侧时，见原解.

（2）当两个平行截面位于球心的两侧时，画出轴截面，如图2.

由|OC1|+|OC2|=1，

有[KF（]R2―5[KF）]+[KF（]R2―8[KF）]=1.

因为R2>8，所以[KF（]R2―5[KF）]>1，

所以[KF（]R2―5[KF）]+[KF（]R2―8[KF）]=1无解.

即此种情况不成立.

综上所述， 球的面积为36π cm2，体积为36π cm3.

点评 思考起来，，通过分类讨论，找出所适合情况的球面积，从而解答该

问题.

三、勘起来，画出简单的组合体适当的截面图

例3 已知球的内接正方体的体积为V，求球的表面积.

错解 如图3，作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为x，球

的半径为R，则有

x3=V，[KF（]2[KF）]x=2R.[JB）]

解得R=[SX（][KF（]2[KF）][]2[SX）][KF（S]3[]V[KF）].

则S球=4πR2=2π[KF（S]3[]W2[KF）].

即球的表面积为2π[KF（S]3[]V2[KF）].

剖析 过球内接正方形的一个对角面作球的大圆截面，得到的是一个宽为正

方体棱长x，长为[KF（]2[KF）]x，对角线长为[KF（]3[KF）]x的矩形（如图4），故错解所作的大

圆截面是错误的.因此，将错解中的第二个方程改为[KF（]3[KF）]x=2R即可.

正解 如图4，作圆的内接长方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为x，球

的半径为R，则有

x3=V，[KF（]3[KF）]x=2R.[JB）]

解得R=[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）][KF（S]3[]V[KF）].

S球=4πR2=3π[KF（S]3[]V2[KF）].

即球的表面积为3π[KF（S]3[]V2[KF）].

点评 解决问题中一定要注意不断勘误，仔细审题，把可能出现的错误降低

到最小程度.

【作者单位：（215600）江苏张家港职业教育中心】