例析基本不等式在高中阶段的几种解题方法

【前言】例析基本不等式在高中阶段的几种解题方法由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。2、已知0 解：构造定值条件x+（1-x）=1，再利用基本不等式可直接求得答案为1/4。 第二类：根据题设条件构造定值，即题设中给出定值条件，再通过构造出合适的定值进行求解 1、已知a>0，b>0，且（1/a）+（9/b）=1，求a+b的最小值. 解：对所求进行变换再求解，a+b=（a+b...

基本不等式，是指任两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。在高中必修五第三章有详细介绍基本不等式的内容，但内容仅限于了解和理解基本不等式，在掌握应用基本不等式解题上涉及较少。本文旨在将基本不等式的题型进行分类并提供解决一般的基本不等式问题的方法，适于教师在本章的教学与复习阶段使用，以培养学生解基本不等式的能力。

我们先对基本不等式的题型进行简单的分类：直接利用“积定和最小，和定积最大”，即题设中未给定值，但有隐性的定值条件，再利用基本不等式解答；根据题设条件构造定值，即题设中给出定值条件，再通过构造出合适的定值进行求解。下面本文通过例题让读者有对这两类问题更好的认识。

第一类：直接利用“积定和最小，和定积最大”，即题设中未给定值，但有隐性的定值条件，再利用基本不等式解答

1、已知a>0，b>0，求证（a/2*b）+（b/2*a）≤1.

解：构造定值条件（a/2*b）×（b/2*a）=1/4，再利用基本不等式可直接求得答案。

2、已知0

解：构造定值条件x+（1-x）=1，再利用基本不等式可直接求得答案为1/4。

第二类：根据题设条件构造定值，即题设中给出定值条件，再通过构造出合适的定值进行求解

1、已知a>0，b>0，且（1/a）+（9/b）=1，求a+b的最小值.

解：对所求进行变换再求解，a+b=（a+b）×1=（a+b）×[（1/a）+（9/b）]=10+（b/a）+（9*a/b）由定值条件（b/a）×（9*a/b）=9，再利用基本不等式可得其最小值为16.

2、已知a>0，b>0，且a2+b2=3，求a×√（1+b2）的最大值.

解：由题设中的定值条件可知a2+1+b2=4，又a×√（1+b2）=√[a2×（1+b2）]再利用基本不等式可解得最大值为2.

根据上述两类题目的分析可以发现，解基本不等式题目的关键就是找出合适的定值，下面我们将对如何构造定值的方法进行分类例析。

方法一：凑系数

已知0

解：构造定值条件3*x+（1-3*x）=1，对所求式的系数进行变形y=（1/3）*3*x（1-3*x），再利用基本不等式可直接求得答案为1/12。

方法二：拆项添项法

1、求证：a+4/（a-3）≥7（a>3）

解：先将所求式添项变形为a-3+3+4/（a-3），构造定值条件（a-3）*[4/（a-3）]=4，再利用基本不等式证明。

2、求证：a+5+4/（a-3）≥12（a>3）

解：先将所求式拆项变形为8+a-3+4/（a-3），构造定值条件（a-3）*[4/（a-3）]=4，再利用基本不等式证明。

方法三：换元法

设x，y∈R，且x+y=1，求3x+3y的最小值.

解：先将所求式中的3x、3y分别用X、Y代替，那么X、Y都是正数，则所求可写作求X+Y的最小值，再利用基本不等式X+Y≥2√（X*Y）=3x+y=3，故最小值为3。

方法四：整体代换（遇到“1”）

已知a>0，b>0，且（1/a）+（4/b）=2，求a+b的最小值.

解：根据题设条件将1作代换为1=（1/2）×[（1/a）+（4/b）]，再对所求进行变换，a+b=（a+b）×1=（a+b）×（1/2）×[（1/a）+（4/b）]=（1/2）×[5+（b/a）+（4*a/b）]，由定值条件（b/a）×（4*a/b）=4，利用基本不等式可得其最小值为9/2.

方法五：取平方

已知x，y∈R，且x*y≠0，求（x/y）+（y/x）的最小值.

解：将所求式取平方可得[（x/y）+（y/x）]2=（x/y）2+（y/x）2+2，由定值条件（x/y）2×（y/x）2=1，利用基本不等式可得其最小值为4.

方法六：转化为类对勾函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f（x）=a*x+b/x（a>0）的函数。

1、已知x>2，求x2-4*x+5/x-2的最小值.

解：将所求式转化为类对勾函数可得[（x-2）2+1]/x-2=（x-2）+1/（x-2），由定值条件（x-2）×[1/（x-2）]=1，利用基本不等式可得其最小值为2.

2、求x2+5/[√（x2+4）]的最小值.

解：将所求式转化为类对勾函数可得1/[√（x2+4）]+√（x2+4），将√（x2+4）用t代替，则所求式为1/t+t，t≥2，利用对勾函数的单调性可得t=2其最小值为5/2.

做基本不等式题目对基本不等式使用的条件：两数是否为正；等号是否可以取得等这样的细节问题需要格外注意。

本文主要提供笔者所知的有限的解题思路和方法，读者做题时要注意灵活应用找定值的几种方法。有的题目可能不止一种方法求解；也有时会综合几种方法一起解决；不断在做题中总结方法经验方可不断进步。

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