构造曲线(直线)系方程解题举偶

解析几何中常出现如下典型问题：①证明动直线或动曲线恒经过一定点；②求通过若干个点的曲线方程；③证明一点或若干个点在某一条定曲线上…，等等如果我们能构造出有用的曲线系方程，将获得意想不到的效果那么如何构造有用的曲线（直线）系方程呢？如何利用所构造的曲线（直线）系方程，直击问题目标，快速实现问题解决呢？通过下面的例子作一简单介绍.

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证明直线或曲线恒过一定点

（1） 求椭圆的方程；

（2） 求线段MN长度的最小值；

（） 以线段MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论.图1

评析关于（），首先由圆的标准方程写出动圆C的方程①然后在曲线系方程形式的引领下，将其化简整理，并注意到条件y1y2=-1，立刻将①变形成②，从②中提取曲线C1、C2，其交点即为所求.

例2（26年武汉市二月调考题第21题）如图2，已知抛物线C：x2=2py上一异于原点O的动点M和平面上两个定点A（，-a，B（b，a（a≠，直线MA交曲线C于M1，直线MB交曲线C于M2，连接M1M2.图2

评析关于（Ⅱ），首先由直线的“点斜式”写出直线M1M2的方程①如何将①写成“中心直线系方程”呢？由A，M，M1共线得②，由M，B，M2共线得③通过尝试，确定用“x2x”表示“x1+x2”、“x1x2”再据“中心直线系方程”的形式，即可将①化归成中心直线系方程⑤，由此提取直线C1、C2，其交点即是动直线恒过的定点

2求通过若干个点的曲线方程

例求经过P1（1，-1、P2（2，、P（2，-、P4（，7、P（-2，-9五点的圆锥曲线方程.

分析若设所求曲线方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+=，将点的坐标一一代入，可得关于字母系数的五个方程，运算量大是可想而知的可否由五个点中的部分点构造一曲线系方程（即待定的曲线方程），再由余下的点，确定其参数，从而求得满足要求的曲线方程呢？评析这里通过选取五点中的四点来确定四条直线，用这四条直线来构造出过这四点的曲线系方程，减少了变量，获得了简解这种作法具有普遍意义.

证明点在某一条定曲线（直线）上

例4平面直角坐标系xOy中，已知M经过点1（，-c，2（，c，A（c，三点，其中c>.

（Ⅰ）求M的标准方程（用含c的式子表示）；

（Ⅱ）已知椭圆x2b2+y2a2=1（a>b>（其中a2-b2=c2的左、右顶点分别为

D、B，M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧.

（1）求椭圆离心率的取值范围；

（2）A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线M1与直线D2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.

评析关于（Ⅱ）（2），一般作法是：求出直线M1与D2交点N的坐标，由此得到点N的轨迹参数方程，消参得点N的直线方程这里另劈途径：构造过M1与D2交点的直线系方程①（其中λ与c为参数），并将其变为②由②式易知当λ=1时，②式为定直线.

例（211年全国高考理科试题（Ⅱ））已知O为坐标原点，为椭圆C：x2+y22=1

在y轴正半轴上的焦点，过且斜率为-2的直线l与C交于A，B两点，点P满足OA+

OB+OP=.

（1）证明：点P在C上；

（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上.

分析关于（2），证法较多，这里通过构造曲线系方程来求解.

于是P（-22，-1，易验证P（-22，-1满足椭圆方程故点P在椭圆C上.

（2） 由点P关于点O的对称点为Q，故点Q（22，1，所以直线PQ的方程为y=2x

又直线AB的方程为y=-2x+1，故设经过A，P，B，Q四点的曲线系方程为

上A，P，B，Q在①上，即在②上接下来就只需证明：“存在实数λ，使得②为圆的方程”这只需利用一般二次曲线方程表示圆的充要条件，即可确定出λ的值这作法思路清晰，步骤鲜明，计算量小.

4 其它

例6设双曲线x2a2-y2b2=1（a>，b>的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|・|OR|的大小关系是 .图

分析设P（x，y，Q（x1，y1，R（x2，y2因O，P，Q，R共线，故考察|OP|2与|OQ|・|OR|的大小关系，只需考察x2与x1x2的大小关系由x1x2，想到运用韦达定理这就启发我们构造过点Q，R的二次曲线系方程，此曲线方程与直线OP联立，消去y即得关于x的一元二次方程.

评析这里通过构造曲线系方程，减少了运算量，使问题快速得解.

作者简介侯作奎，男，196年月生，湖北省中学数学特级教师二十余篇，现任教于武汉外国语学校