关于Gorenstein平坦覆盖的几点注记

摘要： 文献［1］中Enochs证明了在右凝聚环上，任意模都有Gorenstein平坦覆盖和平坦模类的右正交类的包络。本文在一般环上讨论了任意模的平坦覆盖和包络的存在性问题。

关键词： Gorenstein平坦覆盖 包络

1.基本概念

文中所有的环是有单位元的结合环，模是酉模。设χ是一个左-模类.在文献（2）中称φ：XM为左R-模的?掊-覆盖，如果(1)X∈?掊，(2)对任意X′∈?掊和任意φ′：X′M，都存在f：XX使得φ′=φf，等价于Hom (X′，X)Hom (X′，M)0是正合的。(3)若有f：XX使得φ=φf，则f是自同构的.如果只有（1）和（2）满足时，称X∈?掊为M的?掊-预覆盖。在文献［2］中称φ：XM是特殊?掊-预覆盖。如果φ：XM是满同态并且X∈?掊,Kerφ=K∈?掊 。对偶地可定义模的包络，预包络，特殊预包络。关于覆盖和包络已有大量的研究结果(见文献［1］，［2］，［3］)。

在文献［4］中，称模M是Gorenstein-平坦的，如果存一个完全的平坦分解F使得M≌Im(F F )。其中完全平坦分解是指平坦模的正合列F：…F F F F …并且对任意的模I有I?塥F是正合的。显然，平坦模是Gorenstein-平坦模。所有Gorenstein-平坦模做成的模类记为GF(R)。

给定模类R，称R ={X|Ext(F，X)=0，?坌F∈R}是R的右正交类。我们用C（R）表示模类GF（R）的右正交类.显然C（R）包括了所有的模。

2004年Holm等人于文献［4］中引入了模类投射可解和可解的定义，称模类?掊具有投射可解性，如果模类?掊包括所有的投射模，对任意的左R-模正合列OABCO，若C∈?掊，则Ｂ∈?掊等价于A∈?掊。对偶地可定义模类的可解性。

2.主要结果

引理1：设F∈GF（R），M是左R-模。若α：FM是M的Gorenstein平坦预覆盖，则Ker(α)∈C（R）。

证明：若α:FM是M的Gorenstein平坦预覆盖，则α为满同态。可得到短正合列0KerαFM0，对任意F′∈GF（R），用函子Hom （F′，-）作用此短正合列得到0Hom (F′,Kerα)Hom (F′,F)Hom (F′,M)Ext(F′,Kerα)。因为α:FM是M的Gorenstein平坦预覆盖，故有Hom (F′,X)Hom (F′,M)0，所以Ext(F′,Kerα)=0，故Ker(α)∈C（R）。

引理2：设GR(R)是投射可解的，并且0C C C 0是左R-模正合列。若C ，C ∈C(R)则C ∈C(R);若C ，C ∈C(R)，则C ∈C(R)。

证明：设C ，C ∈C(R)。对任意F∈GR（R），用Hom (F,-)作用正合列0C C C 0。因为Ext(F，C )Ext(F，C )Ext(F，C )正合，并且Ext(F，C )=Ext(F，C )=0，所以Ext(F，C )=0。这样C ∈C(R)。同理利用引理2可以证明若C ，C ∈C(R)，则C ∈C(R)。

引理3：设OABCO是左R-模正合列。

（1）若A∈C(R)，B∈GF(R)则BC是C的Gorenstein平坦预覆盖。

（2）若B∈C(R)，C∈GF(R)则AB是A的C(R)预包络。

证明：(1) 对任意F∈GF(R)，用函子Hom (F，-)作用正合列OABCO得到Hom (F，B)Hom (F，C)Ext(F，A)=0。因此BC是C的Gorenstein平坦预覆盖。

(2) 对任意F∈C（R），用函子Hom (-，F)作用正合列OABCO得到Hom (B，F)Hom (A，F)Ext(C，F)=0。因此AB是A的C(R)预包络。

定理1：若每个左R-模都有Gorenstein平坦覆盖，则任意左R-模都有C(R)预包络。

证明：设M是左R-模，E（M）是M的包。存在短正合列0ME(M)N0。

由假设知，N有Gorenstein平坦覆盖φ∶FN。作E(M)N和FN的拉回图：

因为F是N的Gorenstein平坦覆盖，由引理1得K∈C(R)。又因为E(M)∈C(R)，由引理2得C∈C(R).由引理3知，C∈C（R），F∈GF(R)，从而MC是M的C(R)预包络。

定理2：若每个左R-模都有C(R)预包络，并且C(R)预包络的余核是Gorenstein平坦模，则每个左R-模都有Gorenstein平坦预覆盖。

证明：设M是左R-模。则存在短正合列ONPMO，其中P是投射模。设NC是N的C(R)预包络。作NC和NP的推出图：

由条件知D∈GF(R)，又因为P是投射模，所以P∈GF(R)，从而G∈GF(R)，这样GM是M的Gorenstein平坦预覆盖。

参考文献：

［1］Enochs E E，Jenda O M G.Jenda，The Existence of Gorenstein Flat Cover［J］.Math.Scand，2004，94：46-42.

［2］Xu J Z.Flat Cover of Modules［M］. Lecture Notes in Mathematics，Vol.1634，Spring-Verlag，1996.

［3］Enochs E E.Jenda O M G.Relative Homological Algebra［M］.Berlin，2000.

［4］Holm H.Gorenstein homological dimensions［J］.J.Prue Appl.Algebra，2004，189：167-193.

［5］Bican L，Bashier E，Enochs E E.All modules have flat cover［J］.Bull.London Math.Soc，2001，33：385-390.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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