时间：2022-09-26 04:09:30
1.凸多面体性质
根据凸多面体的概念，不难得出如下性质.
性质1.过多面体面上的任意一点作直线穿多面体，至少存在一直线与多面体的面的公共点多于两个，则该多面体不是凸多面体。
证明：在如图1所示的多面体中，过面SBC上的点F做直线，分别与面SCD，面SED，面SEA交于G、H、K，共4个交点，下面我们证明该多面体不是凸多面体.
我们将面SCD伸展为平面，则点F和H在平面SCD的两侧，所以多面体不在这个平面的同一侧，该多面体不是凸多面体.论毕.
因为性质1的逆否命题应该正确，所以我们就有性质2.
性质2过多面体面上的任意一点作直线穿多面体，若这个多面体为凸多面体，则所做直线与多面体的面的公共点的个数为2个.
性质2可述为“过凸多面体的面上任意一点作直线穿多面体，直线与该多面体面的公共点为2个”.
根据线动成面的原理我们有性质3.
性质3任作多面体的截面，若截面中有一个不是凸多边形，则该多面体不是凸多面体（证明略）.
性质3的逆否命题成立，则有性质4.
性质4任作多面体的截面，若该多面体是凸多面体，则所有截面均为凸多边形.
性质4可简述为“凸多面体的任意截面为凸多边形”.
2.多面体分类
就简单多面体和凸多面体这两个概念的关系而言，笔者认为中学数学课本中的“简单多面体”为属概念，而“凸多面体”为子概念，且以下几个事实成立.
事实（一）若一个多面体为凸多面体，那么它必为简单多面体.
证明：假设一个凸多面体表面连续变形后变成一个环面，如图2
左所示.我们在环面上任取一条直线上的四点A、B、C、D，然后我们让环逐步释气，回复到大约如图2右的一个多面体.与A、B、C、D对应的四点分别为A1、B1、C1、D1它们应分布在“孔”的不同侧，我们把B1所在的面伸展为平面，则A1、D1两点分别应在这个平面的两侧，所以释气后得到的多面体不是凸多面体.即原多面体表面连续变形（表面不会破裂）后是一个球面，而不会变成环面（或多环连通面），故假设不成立，原多面体为简单多面体.论毕.
事实（二）一个简单多面体不一定是凸多面体.比如图3中的多面体是简单多面体，但它不是凸多面体.因为若将面SDC伸展成平面后，点A和点E不在平面的同一侧，所以它不是凸多面体.然而将这个多面体表面连续变形后表面必变为球面，所以它是简单多面体.故而简单多面体不一定是凸多面体.
依据（一）和（二）我们可给多面体进行如下分类：
3.凸多面体性质及多面体分类的应用
例1给出下列命题：
①正四棱柱是正多面体.
②直四棱柱是简单多面体.
③简单多面体就是凸多面体.
④以正四面体的各个面的中心为顶点的四面体仍为正四面体.
其中正确命题的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：正确命题为②④，答案为B.
例2（人教2003版高中数学课本的第九章，习题9.9中的第13题）简单多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥的包含关系如何？用图表示.
解：关系如图4所示.
4.思考与练习：
题1.根据性质2凸多面体的对角线与面的交点个数为 .
题2.根据性质4凸多面体的面为 多边形.