充分利用教材资源,拓展变式教学思路

全日制义务教育《新数学课程标准》指出：“重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则。”与此相应地，人教版第三学段（七～九年级）数学教材对一些重要的内容都采用了分散编排的方式，使学生对所学知识的理解和掌握有一个逐步发展、不断深化的过程。那么在具体的教学实践中，如何充分运用教材资源，体现这一原则呢？下面是笔者在教学七年级教材中一个知识点时进行了变式训练，通过对这个探究问题的两次再现，既充分地运用了教材资源，又成功地体现了逐级递进、螺旋上升的原则。

一、试题原型

七年级数学（上）第二章2.4《再探实际问题与一元一次方程》共设计了三个探究活动，结合其中的探究问题我作了如下变式：

用哪种灯省钱？

小明想在两种灯中选购一种。其中一种是11瓦（即0.011千瓦）的节能灯，售价60元；另一种是60瓦（即0.06千瓦）的白炽灯，售价3元。两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）。节能灯售价高，但是较省电；白炽灯售价低，但是用电多。如果电费是0.5元/（千瓦时），选哪种灯可以节省费用（灯的售价加电费）？

这是一个方案选择问题，而此时学生的知识状况是仅学习了一元一次方程及其解法，为了让学生在目前的状况下解决这个问题，我在此设计了一系列填空及两个“讨论”问题，引导学生思考。其中选择方案通过代入特殊值试验得出，探究活动后可以归纳这个问题的解答如下：

设：照明时间t小时，两种灯的费用相等，则

白炽灯的费用为（3+0.506t）元，节能灯的费用为（60+0.5011t）元。

根据题意，列出方程：3+0.506t=60+0.5011t

解这个方程得：t≈2327

分别在时间小于2327小时和大于2327小时中选取一个特殊值代入两种灯的费用：

（1）取t=2000

白炽灯的费用为：3+0.50600=63（元）

节能灯的费用为：60+0.501100=71（元）

（2）取t=2500

白炽灯的费用为：3+0.50600=78（元）

节能灯的费用为：60+0.501100=63.75（元）

所以，当照明时间小于2327小时，选白炽灯费用较低；当照明时间等于2327小时，两种灯的费用相同；当照明时间大于2327小时，选节能灯费用较低。

至此，这个问题已经解决，这里有两个关键：一是建立方程模型；二是用特殊值试验。但是，由于问题涉及数值大小的比较，如此解答是不严密的。严格地说，解决这个问题要用到不等式。

二、首次再现，走向严密

七年级数学（下）第九章内容是《不等式与不等式组》。在学生学习了不等式的解法后，再现这一问题时机恰到好处。这时学生已学习了不等式的有关知识，基于学生现在的知识水平，探究过程的设计就应体现在如何建立不等式模型上。问题再现后，设计以下问题：

1.设照明时间为t小时，分别写出两种灯的费用。

2.当白炽灯的费用小于节能灯的费用时，求t的取值范围（精确到1小时，下同）；当白炽灯的费用等于节能灯的费用时，求t的取值范围；当白炽灯的费用大于节能灯的费用时，求t的取值范围。

3.由以上问题，你能得出怎样的结论？

通过这几个问题的引导，学生很容易归纳出这个问题的解答：

设：照明时间t小时时，两种灯的费用相等，则

白炽灯的费用为 元，节能灯的费用为 元。

由3+0.506t

由3+0.506t=60+0.5011t得t=2327

由3+0.506t>60+0.5011t得t>2327

所以，当照明时间小于2327小时，选白炽灯费用较低；当照明时间等于2327小时，两种灯的费用相同；当照明时间大于2327小时，选节能灯费用较低。

这里，利用两种灯的费用建立不等式模型，从而利用解不等式得出结论，较之用特殊值试验显然更具说服力，这种说服力来自于解答的严密性。

三、再次再现，体现函数的统领作用

这一问题的再次再现――即第三次呈现，是在八年级上学期。八年级数学（上）第十一章的内容为《一次函数》，这一章的第11.3节“用函数观点看方程（组）与不等式”，是用函数的观点对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行分析。此时再现这一问题，有利于加强知识间横向与纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用。

再现此问题时，不是原题照搬，而是从函数观点出发、以建立函数模型和运用函数思想解决问题的角度提出问题。为简化计算，对数据作了相应处理。题目如下：

小明想在两种灯具中选购一个。其中一种是节能灯，贴有“220v，10w”的标牌，零售价60元/个；另一种是白炽灯，印有“220v，60w”字样，零售价2元/个。两种灯照明效果相同，当地的电价是0.5元/千瓦时。

（1）若照明x（小时）时，节能灯的总费用（含购买费用和照明用电费用，下同）为y1（元）；白炽灯的总费用为y2（元），分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（2）若两种灯使用寿命相同，请你帮助小明选择比较合理的购买方案。

此时，这个问题的解答首先要建立一次函数，然后运用一次函数的有关知识得出答案。解答过程如下：

（1）y1=60+0.501x=60+0.005x

y2=2+0.506x=2+0.03x

（2）由y1

由y1=y2即：60+0.005x=2+0.03x得：x=2320

由y1>y2即：60+0.005x>2+0.03x得：x

所以：当照明时间大于2320小时，选节能灯费用较低，应选择购买节能灯；当照明时间等于2320小时，两种灯的费用相同，选择哪种灯均可；当照明时间小于2320小时，选白炽灯费用较低，应选择购买白炽灯。

教学中，通过对同一个素材的三次变式使用，学生经历了利用方程思想、不等式思想和函数思想解决同一问题的过程。一方面，使学生体验了用一次函数可以把前面学习的方程和不等式等数学对象统一起来，体会到函数的重要性，显示了函数思想的统领作用；另一方面，从方程到不等式，学生体会了从相等关系（问题的特殊性）到不等关系（问题的普遍性）的辩证方法；再由方程和不等式到函数，学生又从常量思维提升为变量思维，在数学思想上产生了质的飞跃；同时也充分地体现了逐级递进、螺旋上升的新课程理念。