对一道教材习题的再思考

习题是教材的重要组成部分,但教材中的习题往往是某种类型中较基本的问题.如果教师开发性地使用教材习题,就会起到以一当十,触类旁通的作用．

北师大版八年级数学教材第245页,第3题是这样的：

如图1,在ABC中,∠A=65°,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,求∠BFC的大小．

分析：欲求∠BFC,可在BFC中,根据三角形内角和定理,由∠BFC=180°-(∠1+∠2)求出.根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,所以∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)．

在ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-65°=115°,

所以∠1+∠2=12×115°=57.5°,进而可求出∠BFC=180°-57.5°=122.5°．

显然此题中的∠1与∠2、∠ABC与∠ACB是不可能分别求出来的,也没有必要一一地求出来.因为∠BFC可用∠1+∠2表示,∠1+∠2可用∠ABC+∠ACB表示,∠ABC+∠ACB又可用∠A表示,而∠A=65°,于是∠BFC就可以求出来了．

此题为什么值得研究？因为它把三角形内角和定理和角平分线的定义通过整体思想进行了有机地结合,构造出了一个有价值的数学问题.问题是数学的核心,提出问题比解决问题更重要.如果对该题作进一步思考,还可得到更多有价值的数学问题．

1 思考条件与结论交换后的情形

如图2,在ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,且∠BFC=122.5°,求∠A的大小．

解:因为BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,

所以∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2．

所以∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)．

又因为∠1+∠2=180°-∠BFC=180°-122.5°=57.5°,

所以∠ABC+∠ACB=2×57.5°=115°．

所以∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-115°=65°．

结合原题可得出结论:三角形两个内角平分线构成的夹角∠BFC=122.5°与第三个内角∠A=65°互为充要条件．

2 思考条件与结论的一般关系

如图3,在ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB．

求证：∠BFC=90°+12∠A．

证明：因为BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,

所以∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB．

所以∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)．

因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,

所以∠1+∠2=12(180°-∠A)．

因为∠BFC=180°-(∠1+∠2),

所以∠BFC=180°-12(180°-∠A)．

所以∠BFC=90°+12∠A．

结论: 三角形两个内角平分线构成的夹角比第三个内角的一半多90°．

3 思考三角形两个内角的外角平分线构成的角与第三个内角的关系

如图4,BF和CF是ABC两个外角的平分线,交点为F．

求证: ∠BFC=90°-12∠A．

证明: 因为BF和CF分别平分∠MBC和∠NCB,

所以∠1=12∠MBC,∠2=12∠NCB．

所以∠1+∠2=12(∠MBC+∠NCB)．

因为∠MBC=180°-∠3,∠NCB=180°-∠4,所以∠MBC+∠NCB=(180°-∠3)+(180°-∠4)=360°-(∠3+∠4)．

又因为∠3+∠4=180°-∠A,所以∠MBC+∠NCB=360°-(180°-∠A)=180°+∠A.所以∠1+∠2=12(180°+∠A).因为∠BFC=180°-(∠1+∠2),所以∠BFC=180°-12(180°+∠A),所以∠BFC=90°-12∠A．

结论 三角形两个内角的外角平分线构成的角等于90°与第三个内角一半的差．

4 思考三角形一个内角的平分线与另一个内角的外角平分线构成的角和第三个内角的关系

如图5,在ABC中,BF是∠ABC的平分线,CF是∠ACB的外角∠ACM的平分线.求证：∠F=12∠A．

证明: 因为BF是∠ABC的平分线,CF是∠ACM的平分线,

所以∠ABC=2∠1,∠ACM=2∠2．

因为∠ACM=∠ABC+∠A,

所以2∠2=2∠1+∠A．

又因为∠2=∠F+∠1,

所以2(∠F+∠1)=2∠1+∠A．

所以2∠F+2∠1=2∠1+∠A,

所以2∠F=∠A．

即∠F=12∠A．

结论三角形一个内角的平分线与另一个内角的外角平分线构成的角等于第三个内角的一半．

5 思考两个对顶三角形同侧的两个内角平分线构成的角与另一侧两个内角的关系

如图6,AD与BC相交于E,连接AB、CD,AF和CF分别平分∠BAD和∠BCD,交点为F,CF交AD于G.求证：∠F=12(∠B+∠D)．

证明：因为AF平分∠BAD,CF平分∠BCD,

所以∠BAE=2∠1,∠ECD=2∠2．

又因为∠3=∠B+∠BAE,∠3=∠D+∠ECD,

所以∠B+∠BAE=∠D+∠ECD.所以∠B+2∠1=∠D+2∠2.所以2(∠1-∠2)=∠D-∠B．

因为∠4=∠1+∠F,∠4=∠D+∠2,所以∠1+∠F=∠D+∠2.所以∠1-∠2=∠D-∠F．

所以2(∠D-∠F)=∠D-∠B.所以∠F=∠B+∠D2．

结论两个对顶三角形同侧的两个内角平分线构成的角等于另一侧两个内角和的一半．

学生分析问题与解决问题的能力,是在解决不断变化的问题的过程中形成的.但仅靠改变条件中的数值而为学生提供变式是微不足道的,可逆向思考问题存在的情形,还可考虑问题的一般存在情形,也可从几何图形的变化来考虑问题的其它情形.像上面对原题的五点思考,不仅让学生运用整体思想巩固了三角形内角和定理及角平分线的定义,而且将三角形内角和定理的推论和平角的定义及逆向思维和由特殊到一般思维的技巧整合其中,培养了学生灵活运用所学知识解决问题的能力,有利于克服思维定势的负面影响．

作者简介： 韩永华,男,1962年12月生,湖北秭归人.中学高级教师,秭归县骨干教师,主要研究中学数学教学的思想与方法,曾担任冯小为主编的《中学数学解题思想方法技巧》一书的审稿工作，在省级以上刊物47篇．