让学生经历知识的形成过程

一、 引言：乘法分配律怎么证明？有什么用？

在一次小学数学骨干教师培训的教学实践研讨课上，两个学生的偶然提问引起了笔者和在座众多听课教师的思考和讨论。

这是四年级下册的一节“乘法分配律”的新授课。教师让学生从一个等式“（4＋2）×25＝4×25＋2×25”出发，得到一个数学规律，“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加”。这个规律就叫做乘法分配律，它还可以用字母表示为“（a+b）×c=a×c+b×c”。然后，教师对大家说，“同学们，对于乘法分配律，你想说点什么？”

一个学生问道：“老师，我们仅从一个算式出发，就得到了乘法分配律，乘法分配律正确吗？怎么能说明它一定正确呢？”这时，有些学生也开始附和：“是呀，怎么说明乘法分配律一定正确呢？”面对这突如其来的问题，教师愣了一下，但很快镇定下来，说道：“同学们，你们能举出反例说明乘法分配律不正确吗？”学生开始举例子，都符合乘法分配律，没有人能举出反例。这时，教师说：“没有人能举出反例说明乘法分配律是错误的，所以我们认为它是正确的。”此时，学生不说话了，似乎认同了教师的观点，可听课教师却窃窃私语起来。

之后，教师讲解了两道关于乘法分配律的例题，便让学生进行巩固练习。在课堂小结时，教师让学生谈谈运用乘法分配律解题的感受。一个学生站起来说道：“老师，您让我们用乘法分配律计算‘（3＋1）×6＝3×6＋1×6＝18＋6＝24’，但是我们不用乘法分配律解就可以看出是4×6＝24，干吗还要这么复杂？乘法分配律到底有什么用啊？”这时，全场都静了下来，目光再次聚焦到授课教师身上。授课教师一脸茫然，想说点什么，却欲言又止。就在此时，下课铃响了，教师乘机结束本节课。

这节课给听课教师留下了深刻的印象，因为学生提出了两个出人意料的问题，而这两个问题又很难回答。是啊，怎么能说明乘法分配律是正确的呢？举不出反例就能说明一定正确吗？在数学上判断一个命题的正确性，需要依靠逻辑推理来证明，在小学阶段怎么证明乘法分配律是正确的呢？另外，学习乘法分配律仅仅是为了所谓的简便计算（况且有些学生还认为越用越复杂）？乘法分配律的价值到底在哪里呢？

二、 乘法分配律的证明与价值

一般情况下，乘法分配律有两种形式：（1）基本形式。两个数的和与第三个数相乘，等于每个加数分别与第三个数相乘，再把它们所得的积加起来，即（a+b）×c=a×c+b×c，或者c×（a+b）=c×a+c×b；（2）拓展形式。若干个数的和与一个数相乘的积，等于和中的每一个加数与这个数相乘，再把所得的积加起来，即（a1+a2+…+an）×b=a1×b+a2×b+…＋an×b，或者b×（a1+a2+…+an）＝b×a1+b×a2+…+b×an。下面的讨论主要针对基本形式的第一个式子进行，读者可以拓展到其他形式。

（一） 乘法分配律的证明

在小学数学中，乘法分配律的适用范围有两个，一个是自然数，另一个是有理数。下面我们分别在自然数和分数的条件下证明乘法分配律。

1. 在自然数范围内

在自然数范围内，乘法的意义是表示相同加数的连加，是一种特殊的加法［１］。由此出发，并借助加法运算律，我们可以证明乘法分配律。

（a+b）×c=（a+b）+（a+b）+…＋（a+b）

＝a+a+…＋a+b+b+…+b

=a×c+b×c

特别地，当c＝0时，（a+b）×０＝０＝a×０＋b×０；当c＝1时，（a+b）×１＝a+b＝a×１＋b×１。从而，在自然数范围内，乘法分配律成立。

２. 在分数范围内

下面我们证明，在分数范围内（也可以说在有理数范围内），乘法分配律+×=×+×成立（这里a，b，c，d，m，n是整数，且b，d，n≠0）。

因为×+×=+=，所以+×=×===×+×。

（二） 乘法分配律的价值

在小学数学中，乘法分配律的价值主要表现为两个方面：一方面借助乘法分配律进行简便计算，这一点已经形成共识，在小学数学中也有大量的相关练习题；另一方面乘法分配律是进行多位数竖式乘法的基础，即它是我们进行竖式乘法的依据。这第二点价值可能还有很多人没有意识到，下面我们通过“３７×２８”的竖式乘法来分析一下。

观察乘法竖式（见图1），不难发现，我们在计算的时候，相当于将“３７×２８”写成“37×（20＋8）”，再用乘法分配律得到“37×8＋37×20＝296＋740＝1036”。一般地，竖式计算两位数乘两位数的算理为：要计算ab×xy，根据十进制计数法，可改写为ab×（１０x+y）；根据乘法分配律，等于ab×１０x+ab×y。读者可以类似拓展到其他多位数乘多位数的情况。

三、 乘法分配律的教学

乘法分配律是一个重要的数学规则，对此内容的教学要经历“发现—表述—证明—运用”四个阶段，让学生领悟到乘法分配律“从哪里来，是什么，到哪里去”。

（一） 发现

师：老师这里有两句话，“我爱爸爸”和“我爱妈妈”。你能把它们合并成一句话吗？

生：能，那就是“我爱爸爸和妈妈”。

师：很正确。校服每件上衣62元，每条裤子37元，大家算一算，咱们班35个人，每人一套校服，需要花多少钱？暂不计算结果，说一说你是怎么列算式的。

生：每一套校服的钱乘总的套数：（62＋37）×35。

生：所有上衣的钱加上所有裤子的钱：62×35＋37×35。

师：有两种不同的算法，得到两个不同的算式，大家猜一猜，这两个算式的结果会怎样？

生：结果相等，也就是说（62＋37）×35＝62×35＋37×35。

师：是吗？动手算一算，是否真的相等？

学生计算，结果都等于3465，教师在黑板上写下：（62＋37）×35＝62×35＋37×35。然后，再出示两个类似的问题，用类似的方法得到两个等式：（4＋2）×25＝4×25＋2×25，（10＋8）×50＝10×50＋8×50。

师：观察这三个等式，你有什么发现？请用自己的话说一说。

（评析：教师通过生活情境的引入和数学问题的解决，引导学生对多个数学事实进行观察，从而发现乘法分配律，培养学生数学探究和归纳猜想的能力。）

（二） 表述

生：两个数的和与第三个数相乘，等于每个加数分别与第三个数相乘，再把它们所得的积加起来。

生：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再把乘积相加。

生：（甲数＋乙数）×丙数＝甲数×丙数＋乙数×丙数。

生：（＋）×＝×＋×。

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

……

（评析：启发学生从多个角度表述乘法分配律，既可以加深对乘法分配律的理解，又可以培养学生的数学表达和数学交流能力。）

（三） 证明

师：大家的发现正确吗？

生：正确。我举了几个例子，都验证了它。

生：不一定。找不到反例，只能说明它正确的成分很大，但不能说明一定正确。

师：怎么才能说明这个结论一定正确呢？

生：除非我们能用学过的数学知识来证明它正确。

师：对！在数学上肯定一条结论，需要凭借证明。这里的a、b、c都是大于0的自然数，以（a+b）×c=a×c+b×c为例，你能证明它吗？

生：我试试，可以用乘法的含义来证明。根据乘法的意义，（a+b）×c表示c个（a+b）的连加，将括号去掉，就是c个a的连加，再加上c个b的连加，根据乘法的含义，就是a×c+b×c。（师根据学生的叙述板书，具体参见前文）

生（众）：哇！巧妙！

生：我可以用长方形的面积来证明。如图2所示，长为a+b、宽为c的长方形ABCD的面积为（a+b）×c，也可以是两个长方形ABFE与EFCD的面积和，即a×c+b×c，从而（a+b）×c=a×c+b×c。

师：这样，我们就可以确定（a+b）×c=a×c+b×c是正确的。我把这个等式变成c×（a+b）=c×a+c×b，你说它正确吗？

生（众）：正确。

师：我们把这个规律叫做乘法分配律。大家用自己的话说一说，什么是乘法分配律？

（评析：证明乘法分配律能加深学生对乘法分配律和乘法意义的理解，有利于培养学生的数学说理和论证能力；同时也让学生初步体会到数学的研究方法，即在数学上肯定一个结论需要给予证明，而否定一个结论只需要举出反例。）

（四） 运用

师：下面请大家用乘法分配律计算25×（10＋8）和37×（20＋3），并用竖式计算25×18和37×23，看看你有什么发现？

生：我发现竖式的算法就是来源于乘法分配律。

师：如果计算38×102，你打算怎么算？

生：我会列竖式计算。

生：我把38×102写成38×（100＋2），再用乘法分配律计算。

师：大家用两种方法计算，体会一下哪一种方法更简单。

（评析：学以致用，通过这两类练习题的计算，教师不但培养了学生解决问题的能力，还让学生体会到了乘法分配律的重要价值，加深了对相关数学内容的理解。）

四、 结束语：数学教学要让学生经历来龙去脉

在数学教学中，教师如果仅仅告诉学生一个概念、公式、定理和法则，就让学生进行简单的模仿练习，学生往往理解不深刻，也常常会出错。如果让学生经历重要知识的来龙去脉，学生就会理解得更深刻，也会减少一些错误。

因此，在进行一些重要的数学知识点的教学时，教师要让学生明白“知识点怎么来的——为什么会有它”“知识点是什么——如何用语言描述它”“知识点有什么用——它的作用是什么，可以解决哪些问题”等基本问题。对于像乘法分配律这种重要的数学结论和数学公式，采用“情境引入—探索发现—语言表述—数学证明—巩固运用”的教学模式，教学效果会比较好。

（首都师范大学初等教育学院 100048）

（山西省太原师范学院数学系 030012）

参考文献：

［1］ 史宁中. 数学思想概论·数量与数量关系的抽象［M］. 长春：东北师范大学出版社，2008.

［2］ R·柯朗，H罗宾. 什么是数学［M］. 左平，张饴慈译. 上海：复旦大学出版社，2005.

［3］ 张奠宙等. 小学数学研究［M］. 北京：高等教育出版社，2009.