新课标下三角函数定义教学及应用

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）17-124-01

三角函数在高考中一直都占据着重要的地位，在学习当中也不例外，特别是目前新课标下的学习更显得重要，这对教师在教学方面提出更高要求，那么在教学时应注重其定义的讲解。在北师大版本必修4中对三角函数定义如下：

一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 ，那么点 的纵坐标 叫作角 的正弦函数，记作 ，而我们习惯于用 表自变量，即 表角的大小，用 表函数值，也即记为 ，点 的横坐标 叫作角 的余弦函数，记作 ，也即记为 ，当 ，即 时，把 叫作角 的正切函数，记作 。针对教材中所给定义，通俗地讲：正弦函数就是角 终边与单位圆交点的纵坐标，余弦函数即为交点的横坐标，当横坐标不为零时，即角的终边不落在 轴上时，正切函数就是纵坐标与横坐标的商。为此把三角函数与直角坐标系中的点的坐标对映起来，根据上第一学期学习过的直线与圆方程，可以使学生更容易理解及掌握，下面将对此定义在三角函数中举出些例子，以提高其解问题的能力及方法归纳。

一、例题讲解

1、在求解三角函数值方面的应用

例1，已知角 的终边在直线 上，求 的值。

解：由直线 图像可知，经过原点且过第 与 象限，

当角 终边在第 象限，则有直线 与单位圆 交点为

当角 终边在第 象限，则有直线 与单位圆 交点为 所以 。

（2）在推导 及此公式应用 ，

此式可利用新课标下正、余弦、正切函数定义来证明。其过程如下：

证明： ，

（若令 即把 看成是某个角 的余弦值， 看成是这个角的正弦值，（或把 看成是某个角 的正弦值， 看成是这个角的余弦值），则 与 满足条件： ，即点 （或点 ）为角 终边与单位圆的交点。）

则有 ，对于 取正负对题的证明不会有大的关系，为便于理解，在本文中取 ；于是可得

证毕。下面将举几例此公式的应用。

例2，已知函数

（1）求 的最大值及相应 的取值集合；（2）求 的单调递增区间。

解：（1）由题可得：

所以 最大值为 ，此时

即 ；

（2） 的单调递增区间可根据正弦函数的单调增可得：

。

本文主要讨论了新课标下三角函数的定义，并就其定义证明了一个三角函数中的常用公式，为便于对三角函数的理解我们可以通俗的简记为纵坐标、横坐标，高考中对三角函数的

公式出现频率较高，针对这点本文根据定义做出了相应的证明，同时也给出了相应的训练题。