强化几何直观,积累解决问题经验

在小学阶段，具有加法结构的实际问题有三类：变化题、合并题和比较题。其中，比较题是学生学习的难点。作为比较题中的一种，“求比一个数多（少）几”的实际问题是以“求一个数比另一个数多（少）多少”为基础的：在学习活动上，相差关系的问题可以通过“摆一摆”“排一排”的操作得到解决；在数学概念上，“比一个数多几，相当于这个数添上几”“比一个数少几，相当于这个数去掉几”。由于学生已经具有这些数学概念和数学活动经验，苏教版教材二年级下册让学生摆摆、算算，从直观形象看出结果到列式计算，抽象地用数学计算解决问题。

在实际教学中，学生通过摆学具看出结果并不难，而列出算式、理解算式的意义与数量关系很不容易。这是因为从学具到算式的跨度比较大，需要把“求比一个数多几”转化成“两部分合并”，把“求一个数少几”转化成“总数里去掉一些”，才能联系已有的加、减法概念列出算式，并理解和解释算式的意义。

因此，本课教学的重点就在于帮助学生实现从直观的学具操作到抽象的算法建构之间的跨越。怎样帮助学生顺利实现这个跨越呢？笔者跳出了为解题而教学的层面，借助几何直观，立足于解决问题经验的积累展开了实践与思考。

【教学实践】

一、观察感知，激活经验

师（出示教材主题图）：从下图中你能说说小青比小东多摆几个吗？

小东：

小青：

生：小青比小东多了3个，用小青摆的7个减去小东摆的4个，就得到了小青比小东多的3个。

师：不计算，能不能一眼看出小青比小东多摆几个？

生：前面4个是每个画片对齐的，后面3个没有和上面的对齐，所以多3个。（动画演示）

二、自主探索，建构算法

1.发现问题和提出问题。

师（出示例3主题图中小英和小华的信息）：从图上你能知道什么数学信息？

生：小英摆了11个画片，小华比小英多摆了3个。

师：根据这两个条件，可以提出什么问题？

生：小华摆了多少个？

师：你能把条件和问题连在一起完整地说一说吗？

2.借助操作，解决问题。

（1）动手操作。你打算怎样解决这个问题？看着大屏幕，可以动手用花片摆一摆，也可以不动手，在脑子里想一想该怎样摆。需要用花片的同学，每人从袋中取出同一种颜色的花片摆一摆。咱们比一比哪个小朋友摆得整齐，让别人能够一眼看出小华比小英多摆了3个。

生独立操作后汇报交流。

生：小英摆了11个。（课件依次出示11个花片）

生：小华摆了14个。

师：14个人是怎么摆出来的呢？

生：先摆11个，然后再摆3个。

师（课件与讲解同步）：在第一排下面一个对着一个摆，先摆出和小英的花片同样多的部分（出示11个花片），然后接着摆3个（依次出示3个花片）。这样，第二排的花片就比第一排多3个。通过摆一摆可以发现，小华要摆多少个？

生（齐答）：14个。

（2）表象操作。你能再说一遍自己是怎样摆的吗？同桌互相说一说自己的摆法。一位同学说，另一位同学在脑子里想：小英、小华分别是怎么摆的？

（3）算法抽象。

师：如果不摆花片，你能用算式表示出小华要摆多少个吗？

生：11+3=14（个）。（师板书）

师：你是怎样想的？

生：因为小华比小英多3个。所以求小华要摆多少个就是求比11多3的数是多少，要把11和3合起来，用加法计算。

3.试一试：变化条件和问题。

师（课件出示例3有关小平信息的情境图）：从屏幕上你又发现了什么？

生：小平比小英少3个，要求小平摆了多少个？

师：根据所给的条件，不动手，你能把小平摆花片的情况在脑子里摆出来吗？

师（呈现摆法）：和你想的一样吗？

师：谁来说说这里为什么要空3个呢？

生：因为小平比小英少摆了3个。

师：你能用算式表示出小平要摆多少吗？

学生独立尝试列式，并板演：11-3=8（个）。

师（追问）：为什么要用减法算？

生：因为小平比小英少摆了3个。小平要摆多少个，是求比11少3的数，要从11里面去掉3，所以用减法算。

4.对比、反思。

师：刚才我们帮助小华和小平算出了他们各摆了多少个花片。这两道题有什么不同的地方？

生：小华摆的是用加法，小平摆的是用减法。

师：为什么解决小华的问题用加法，解决小平的问题用减法？

师揭题并板书：求比一个数多（少）几的实际问题。

三、巩固拓展，积累经验

1.摆一摆。

课件出示：

（1）第一行摆红花片6个，第二行摆黄花片，黄花片比红花片少2个。

学生动手操作后汇报。

（2）第一行摆红花片6个。

生：我有问题，第二行黄花片摆几个？

师：猜猜看，这次黄花片可能怎样摆呢？把你的想法摆出来，让大家猜一猜你是怎样摆的。

学生操作后说摆法，其余同学猜摆了几个。

2.完成“想想做做”第1题，认识直条图。

（1）由情境图到直条图。

师（出示教材情境图）：谁看懂了图的意思？你能自己列式解答吗？

学生独立完成后交流：为什么要用32加6？

生：刘芳比李宁多走6格。

师：如果用画图来表示两个小朋友走的格数，你想怎样画呢？你有什么感觉？

生：很麻烦。

师：一个一个画起来很麻烦，我们可以把这些格子连起来，用一个直条表示李宁走了32格。

启发思考：怎么表示刘芳走的格数？

追问：哪一部分表示刘芳比李宁多走的6格？（请学生指）

完善线段图：

师：要求刘芳走了多少格，就是求下面直条的长。

（2）由图到文字。

师（隐去情境图）：你能看着这个直条图说一说这幅图的意思吗？

（生答略）

师：这个直条图把题目中的两个条件和一个问题都表示出来了，看着直条图，你能找到求刘芳走了多少格的方法吗？

生：把上面的32格和下面的6格合起来。

师：小朋友可真不简单，根据一幅图不但复述了原来的题目，而且很快就找到了解决问题的方法。下面的图你能看懂吗？

3.完成“想想做做”第2题，理解直条图。

（1）课件出示。

生：冬冬浇了36盆，小玉比冬冬少浇了12盆。问题是小玉一共浇了多少盆。

师：你能自己解决这个问题吗？把答案写在练习纸上。

（2）课件变换素材。

师：小朋友在干什么？（拍球）通过看图，你能很快解答这个问题吗？把你理解的题意说给同桌听。自己会解决这个问题吗？

（3）比较异同。

师：我们刚刚借助直条图解决了两个问题。细心的同学发现了什么？

生：单位名称不同。

生：算式都一样。

生：直条图都一样。

生：这两个直条图都表示比36少12的数是多少，都是用减法计算。

师：这两题不同的地方在哪里？

生：讲的事情不一样。

（4）再次编题。

师：只看直条图，你能不能根据这幅图再编一道这样的题目呢？

生：我拍了36下篮球，我的同桌张雨萌比我少拍了12下。张雨萌拍了多少下？

生：……

4.完成“想想做做”第3题，应用直条图。

教师课件出示题目的情境图（删去小灰兔说的话）。

生：老师，没法解决这个问题。小灰兔没有说比小白兔多还是少。

师：小灰兔可能怎么说呢？

生：小灰兔说我比你多拔了7个。

师：如果小白兔拔的萝卜用这么长的直条来表示的话（师用手比划），小灰兔拔的萝卜的个数也用直条表示，要比这个？（生：长）

生：我比你少拔7个。（用手势表示直条图）

师：猜猜看还能怎么说？

生：我和你拔的同样多。（脑中想象直条图）

师：这时小灰兔拔了多少个？

生：25个。

师：小灰兔到底怎样说的呢？

课件出示：

我拔的和你同样多。（脑中想象直条图）

我拔的比你多得多。（脑中想象直条图）

师：会是这四个数中的哪一个呢？（课件出示：12 25 27 48）

（生答略）

四、全课小结（略）

【教学思考】

作为2011版课标提出的核心概念之一，“几何直观”可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。它不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，在解决“数与代数”等其他领域的问题时，也具有十分重要的作用，特别对于解决较为抽象的整数比较题、分数问题、行程问题等实际问题的作用更加明显。本课作为上述实际问题的认知起点，创造性引入直条图，让学生在刚刚接触简单实际问题时就感受到几何直观的价值。

直条图源自实物操作时两种事物的一一对应，同时又是后续学习线段图的雏形和跳板。因此，直条图作为解决“求比一个数多（少）几”的实际问题模型和理解数量关系的支撑，它的出现不但可以帮助学生有效实现从直观到抽象的跨越，而且为以后借助线段图解决实际问题积累了丰富的感性经验和理性经验。

一、强化操作和直观，直条图呼之欲出

回顾本课的教学，数量关系的建立始终作为教学的重点与核心，这种核心的凸显，就是借助了几何直观——直条图。直条图并非是教师直接给出的，而是在学生经历了动手操作、表象操作与符号操作等多种表征转换活动中逐步构建的。

（一）借助直观激活原有经验

解决“求一个数比另一个数多（少）几”的实际问题是学生的原有经验。课始，教师借助教材的主题情境直接出示两排花片，让学生说一说小青比小东多摆了几个，而且通过“不计算，怎样看出多摆的个数”来引导学生直接关注多的部分，为新知的建构激活了相关经验。而两行花片的一一对应摆放，是直条长、短的直观显现。

（二）借助操作积累表象经验

低年级儿童的思维特点主要以形象思维为主，动手操作是其获取数学知识的主要途径，但教学并没有停留在操作层面，而是借助操作积累丰富的表象经验。

解决例题“小华摆了多少个”时，先提出了不同层次的要求：“可以借助花片摆一摆，也可以不用花片，在脑中想一想怎样摆”；接着再引导学生同桌互相说怎样摆（一人说，一人在脑中摆），进一步丰富表象经验的积累。

解决例题“小平摆了多少个”时，教师则直接提出要求：“不动手，你能把小平摆花片的情况在脑子里摆出来吗？”引导学生逐渐摆脱实物直观，强化表象在解决问题中的作用，再次为直条图的出现积累丰富的表象经验。

巩固练习的第一环节，教师仍然安排了操作活动，第一个操作是对本课新知的及时巩固，第二个操作则再次着眼表象经验的建立和巩固，一位学生汇报自己的操作，其余学生想象是怎样摆的，并列式解答。

（三）借助动画产生直条图

在教学例题的环节，教师并没有急于亮出直条图，而是在上述两个过程中，为直条图的出现做足文章，积淀丰富的操作经验和表象经验，给学生造成一种“直条图”呼之欲出的情感体验。

解决“想想做做”第1题后，教师则让学生先体验用方格一格一格摆出李宁走的步数太麻烦了，再借助动画将每个格子合并起来，就产生了直条图，并逐步完善直条图，从而实现情境图到直条图的过渡。到此，直条图便自然、“直观”呈现在学生的面前。

二、运用直条图，为理解数量关系构建数学模型

数学应用题的教学核心是理清数量关系。问题的求解，在于透过对情境的理解，掌握数量关系，从而建立求解模型。低年级的应用题教学要遵循低年级儿童的心理特点，抽象的程度不能太高。因此，作为半直观半抽象的直条图就为低年级学生理解数量关系进而构建模型提供了支撑。

（一）看懂图意，体会直条图的内涵

运用的前提是理解。所以，在直条图出现以后，教师及时引导学生看懂图意：“你能看着这个直条图说一说它的意思吗？”让学生看着直条图复述图意，从而认识到“直条图把题目中的两个条件和一个问题都表示出来了”。这样一个由图到文字的过程，让学生再次从半抽象半直观的直条图回到原来的问题情境之中。再次的思维转化过程，学生初步体会了直条图的内涵，为后面的应用积累了认知经验。

（二）变化素材，体会数量关系的不变

在初步看懂直条图的基础上，教师利用“想想做做”第2题设计了层次递进的练习，先是将教材中的情境图变为情境加直条图，一方面及时加深对直条图的认知与理解，另一方面，进一步体会求比较量的数量关系；紧接着，教师变化素材，由浇花到拍球。情境变化，但是数量关系不变，学生在口述图意及解决问题的基础上自主发现：“两道题说的事虽然不同，但是数量关系是相同的，解决问题的方法也是相同的。”从而突出解决问题中“数量关系”的核心作用。

（三）看图编题，体会数学模型的价值

在前面两个层次的数学活动中，学生对直条图的认知与运用、对数量关系的理解，足以帮助学生解决本类型的实际问题。但教学并没有止于此，而是顺势再进一步——“只看直条图，你能不能根据这幅图再编一道这样的题目呢”，这个问题瞬间将学生的思维激活。学生在这个活动中不仅要深刻理解直条图，而且能与生活经验相对接。编的题目虽然不同，但使用了同一幅直条图。这样的教学突出了体会直条图这一数学模型在解决问题中的价值。

三、强化直观模型，形成解决问题经验

解决问题经验的获得不是一蹴而就的，而是要反复经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程逐渐形成。在经历了直条图的产生、理解和初步应用的基础上，教师巧妙开发“想想做做”第3题的教材空间，进一步强化直条图这一直观模型，从而帮助学生形成问题的经验。

教师先是隐去教材中小灰兔的话，让学生发现“没法解决这个问题”，接着引导学生猜一猜“小灰兔可能怎么说”，在这个过程中，学生发现问题和提出问题的能力得到了培养。在分析问题时，教师先是用手势比画小白兔拔的萝卜个数表示的直条，引导学生比画对应的小灰兔拔的萝卜个数表示的直条；接着，引导学生多次在头脑中想象直条图，从而强化直条图在分析问题和解决问题中的作用；最后，教师将“数的意义”与“解决问题”相结合，通过“多得多”让学生判断小灰兔拔的个数可能是四个数的哪一个，再次强化小灰兔拔的个数对应的直条比小白兔拔的个数的直条长得多。在这个开发教材、知识综合的过程中，不断强化直条图在解决实际问题中的模型价值，为以后学习借助线段图分析问题和解决问题奠定发展的基石。

【注】本文为江苏省教育科学 “十二五” 规划重点课题《小学数学基本活动经验形成的案例研究》（编号：B-b/2011/02/163）阶段性成果。

（江苏省邳州经济开发区中心小学 221300）