巧妙变换,轻松“看出”结果

利用变换转化的方法解决数学问题，是一个重要的数学思维方法，具有灵活性、多样性的特点。数学变换，能将复杂的问题转化为简单的问题，将难的问题转化为容易的问题。下面，笔者用教学中的两个案例谈谈自己的体会。

一、妙用圆规变换图形，轻松“看出”解题思路

[例1]在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，如图1将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°

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如图2，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC=a，连接EP。

当？兹= 时，EP的长度最大，最大值为 。

[讲评引导过程]

师：“这个问题，很多同学解决起来没有思路。请问你们的困惑在哪里？”

生：“点E不变，点P变化，想不出变化过程中最大值出现在哪里。”

（看来，学生的问题主要出现运动变化上，不能准确把握变化的特点。）

教师因势利导：“点P是怎样变化的呢？”

生：“随着ABC绕顶点C顺时针旋转。”

师：“那么，你能否想象出点P运动的轨迹吗？”

生：“以点C为圆心，以CP长为半径的圆。”

学生经过讨论，还可以得出如下结论：因为ABC中∠ABC=30°，P为A1B1的中点，所以CP=AC，以点C为圆心，以CP长为半径的圆能经过A、A1两点。

师：“请用圆规把点P运动的轨迹画出来吧。”（学生画图，如图3。）

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师：“你能不能在圆上找到符合要求的点P呢？”

到这里，学生理解起来就比较轻松了：延长AC，交C于点P1，P运动至P1处，此时EP的长度最大。

[同类变式]如图，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点。思考：如图4，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α。

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将如图4中的扇形纸片NOP剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转。

如图5，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值。

[思路分析]

求点P到CD的最小距离比较容易想出，但求旋转角∠BMO的最大值，很多学生不理解是求什么？问题实际上是根据原题中“使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转”这个要求提出的。

在本题中，由于MOP为等边三角形，故MO=PO=MP。利用圆规可以作出点O在旋转过程中的运动轨迹（如图6辅助线），就不难想出：当扇形OMP旋转到其所在的圆与直线AB相切时，产生∠BMO的最大值，此时∠BMO'为90°。

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[教学后记]使用圆规，能够准确地表现出旋转问题中某个特殊点的运动轨迹，它以变化的、运动的方式来处理思维上孤立的、离散的问题。很好地领会这种方法，在解题中将会收到奇效，也能有效地发散数学思维，提高数学应用水平，轻松“看出”解题思路将不是难不可及的事。

二、化简分数，轻松“看出”数字规律

[例2]一组有规律的数■，■，■，■，■，■……第10个数是什么？第n个呢？（用含有n的代数式表示）

[课堂教学片段]

经过独立思考，一部分学生有了思路，分组讨论后请学生上讲台讲解交流。

A同学：先看分子1，2，3，4，5，6……，第10个就是10，第n个就是n；再看分母，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1……第10个就应该是112-1，第n个就是（n+1）2-1，所以答案分别是■=■，■。

B同学：分子的规律跟A同学一样，我发现分母中3=1×（1+2），8=2×（2+2），15=3×（3+2），24=4×（4+2），35=5×（5+2）……，所以第10个就是10×（10+2）=120，即■=■，第n个就是■。

教师随口问了一句“还有其他解法吗？”没想到还真有。

C同学站了起来：把第二个及以后的分数分别约分可得：■，■，■，■，■，■……他刚说到这里，教室里已经发出一片“噢”的叫声，很明显分子都是1，分母比第几个数的序号大2，答案分别是■，■。

大家不约而同地为C同学喝彩，因为他经过简单的变形，就轻松地“看出”了这组数字的规律，使解题方法变得十分简洁。

[教学后记]华东师大李政涛教授说：“有生成的课堂才是精彩的。”笔者暗自庆幸，在学生顺利说出教师预设的两种答案后，没有武断地往下推进――否则，不仅缺少了C同学的妙解，而且还束缚了学生的思维。