由“求(a+b+c)5展开式的项数”谈隔板法

在二项式定理的教学中遇到这样一题：用乘法原理求出（a+b+c）5展开式的项数。这题大部分学生都错解为有35项，35项是用乘法原理得来的，是展开后没有合并同类项时的项数。在实际的展开式中，我们都会合并同类项，那合并同类项后有多少项呢？该题的正确答案是21项。具体解法如下：因为展开式中的每一项都是aXbYcZ（X，Y，Z∈N）的形式，并且X+Y+Z=5，那么这个题目就转化为求方程X+Y+Z=5的非负整数解的组数，而这个方程的非负整数解的组数用隔板法求得有C27=21组，所以展开式有21项。那么什么是隔板法呢？

隔板法又称隔墙法、插板法。是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法。本文将隔板法归纳为以下三种模型，并通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考。

模型一：将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题

例1 将20个大小形状完全相同的小球全部放入3个不同的盒子，每个盒子中至少有一个小球，有多少种不同的方法？

分析 本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，用隔板法。

解析 将20个小球分给3个盒子，每个盒子至少一个小球，相当于将20个相同的小球分成3组，每组至少1个。将20个相同的小球分成3组，需要2块隔板，先将20个小球排成一排，再在20个小球之间的19个空档中，选取2个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有C219种不同的放法。根据分步计数原理，共有C219种不同的方法。

点评 对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题，可以看成将这n件物品分成m组，每组不空的问题。将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n件物品之间的n-1空档中选取m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cm-1n-1种不同的放法。根据分步计数原理，共有1×Cm-1n-1=Cm-1n-1种不同排法，因m-1块隔板将n件相同物品分成m块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有Cm-1n-1种分法。

模型二：将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题

例2 将20个大小形状完全相同的小球全部放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，有多少种不同的方法？

分析 本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，可以建立适当模型转化为模型一，用隔板法解决。

解析 建立新的模型转化为例1的模型：先在每个盒子中另外各放一个小球，将本题转化为将23个小球放入三个盒子中，要保证每个盒子中至少一个小球，这个模型就相当于将20个小球放入三个盒子允许有盒子为空。23个小球放入3个盒子要两块隔板，由于23个球有22个空，故隔板有C222种不同的放法。由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数原理，共有C222×1=231种不同的方法。

点评 对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题，可以看成将n+m件物品分成m组，每一组至少有一个物品的问题。将n+m件物品分成m组，需要m-1块隔板，由于n+m个物品间有n+m-1个空位，从这n+m-1个空位中选m-1个放隔板，隔板有Cm-1n+m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置。因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法。根据分步计数原理，共有Cm-1n+m-1×1=Cm-1n+m-1种排法。因m-1块隔板将n件相同物品分成m块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有Cm-1n+m-1种分法。 因为所有的球都相同，所以最后的方法总数是Cm-1n+m-1种。

模型三：将n件相同物品（或名额）分给编号为1，2，3，…，m的m个人（或位置），要求每个人（或位置）得到的物品（或名额）不少于其编号数的问题

例3 将20个大小形状完全相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子，要求每个盒子的球数不少于其编号数，但球必须放完，有多少种不同的方法？

分析 本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，要求每个盒子的小球数不少于编号数，可以先在每个盒子中放比编号数少1的个数的球，然后将剩下的球用隔板法分成三份即可。

解析 现在编号为1、2、3的三个不同的盒子分别放0，1，2个球，则还剩17个球，这17个球有16个空位，要分成三份，由隔板法知有C216种分法。

点评 将n件相同物品（或名额）分给编号为1，2，3，…，m的m个人（或位置），要求每个人（或位置）得到的物品（或名额）不少于其编号数的问题，可以先给每个人（或位置）少于编号数1个的物品（或名额），这要用掉n件物品中的m（m-1）2个物品（或名额），而将剩下的n-m（m-1）2件物品排成一排用隔板法分成m份，用隔板法有Cm-1n-m（m-1）2-1种方法。因为所有的球都相同，所以最后的方法数是Cm-1n-m（m-1）2-1种。

下面例析隔板法解决文章开头提出的题型――如何求方程非负整数解的组数

解析 （1）将100个1排成一排，用隔板分成四份，每一份对应的1的个数就是X、Y、Z、W的一组解。因为100个1有99个空位，分成四份要三块隔板，所以共有C399种放隔板的方法，即原方程的正整数解有C399组。

（2）可以将这题转化为模型二解决，要求方程X+Y+Z+W=100的非负整数解，相当于求方程X+Y+Z+W=104的正整数解，由隔板法知，方程X+Y+Z+W=104的正整数解有C3103组，即原方程解得组数为C3103组。