GPS 水准似大地水准面拟合的研究

摘要：论文介绍了大地高、正常高和正高的概念和三者相互之间的关系，阐述了GPS高程拟合的原理，并给出了GPS水准拟合精度的评定方法和指标。结合某GPS控制网的应用实例，用Matlba语言编程实现多种GPS高程拟合的技术方案，并对拟合结果进行比较分析。

关键词：GPS；水准；似大地水准面；拟合

Abstract: the paper introduces the earth high, high and ZhengGao normal and the concept of the relationship between the three, this paper expounds the principle of GPS elevation fitting, and gives the fitting precision GPS leveling the evaluation method and index. Combined with a GPS control network examples of application, with Matlba language programming achieve a variety of GPS elevation fitting the technical scheme and the fitting result was analyzed.

Keywords: GPS; Standards; Like the geoid; fitting

中图分类号：P228.4文献标识码：A 文章编号：

1.引言

我国的高程系统是以似大地水准面为高程基准的正常高系统,而GPS测得的是大地高。为了能够充分发挥GPS的三维定位功能,尤其是GPS高程测量在我国工程测量中的应用,必须实现GPS大地高向正常高的转换。大地高向正常高转换需要以似大地水准面为媒介。现在GPS大地高可以达到厘米级精度,如果配以厘米级的似大地水准面,便可得到厘米级的正常高。这样就可以用GPS代替低等级的几何水准,既经济省力而又近实时性[1]。对于一个测区或区域来说,求定点的高程异常值实质上就是确定局部的似大地水准面[2]。

2.区域似大地水准面拟合原理

在一个GPS网中，进行GPS平差后，可以得到网中各点的大地高 ，利用既有GPS大地高H又有正常高h的多个已知点(简称公共点)，求出这些公共点的高程异常值 。然后由公共点的平面坐标和 值，采用数学拟合的方法，拟合

出测区内的似大地水准面。再由其它GPS点(待求点)的平面坐标 拟合(内插)出该点的高程异常值 ，则按(1-1)式可求得GPS网中各点的正常高 [3]:

(1-1)

常用的拟合模型有平面拟合、二次曲面拟合和三次曲面拟合。

(1)平面拟合原理

在小区域且较为平坦的范围内，可以考虑用平面逼近局部似大地水准面。设某公共点的高程异常 与该点的平面坐标有关系式[4]:

(1-2)

式中 、 、 ，为模型待定参数。如果公共点的数目大于3个，则可列出相应的误差方程为:

i=1, 2, 3,...,n

写成矩阵形式有

(1-3)

式中， 。

根据最小二乘原理可求得

这样把求得的模型参数 、 、 。代入(1-2)式，可得到待求点的高程异常 从而求得待求点的正常高 。

(2) 二次曲面拟合法

似大地水准面的拟合也可采用二次曲面拟合法，即对于公共点上的高程异常与平面坐标之间，假定存在如下数学模型[4]:

(1-4)

式中， 、 、 、 、 、 为模型待定参数。因此，区域内至少需有6个公共点。当公共点多于6个时，仍可组成形如公式(1-3)的误差方程，此时

按最小二乘原理解求出模型待定参数 、 、 、 、 、 的值。该拟合方法适合于平原与丘陵地区，实践表明，在小范围内拟合精度可优于1cm。二次曲面拟合还可以进一步拓展为三次曲面拟合法，其拟和函数模型为：

(1-5)

三次曲面拟合还可进一步扩展为多项式曲面拟合法，这时数学模型为

写成矩阵形式表示与(1-3）式相同。

3.拟合精度评定

通过前面介绍的方法求得正常高后，还要对其结果进行精度分析，为了能客观地评定GPS水准拟合的精度，在布设几何水准联测点时，适当多联测几个GPS点，其点位也应均匀地分布全网，以作外部检核用。

1.内符合精度[5]:

根据参与拟合计算已知点的 值与拟合值 ，用 来求拟合残差 ，按下式计算GPS水准拟合的内符合精度

(1-6)

式中，n为已知点的个数。

2.外符值精度[5]:

根据检核点值与拟合值 之差，按下式计算 G P S水准的外符合精度 M

(1-7)

式中，n为检核点数。

4. 实例分析

下面以某地区的GPS控制网为例，对GPS高程拟合模型的应用进行详细的分析和探讨。

图4.1GPS控制网图

(1) 平面拟合

表4.1平面拟合数据：

运用Matlab软件计算后得到如下表4.2的拟合数据结果：

表4.2 计算结果数据表

(2)二次曲面拟合

运用Matlab软件计算后得到如下表4.3数据结果：

表4.3 计算结果数据表

表4.4三次曲面拟合数据：

表4.5 计算结果数据表

表5.1 内、外符值精度表

此设计应用的三种拟合方法已知点数有所不同，平面拟合和二次曲面拟合公共点数为6，而三次曲面拟合已知点数为10，因此检核点数量也不相同，下面将后面的8个点高程数据和水准高程进行对比，统计结果如下：

表5.1 精度对照表

6.总结

文中运用平面拟合、二次曲面拟合、三次曲面拟合三种GPS高程拟合方法，将大地高转换成正常高，对测区的大地高转换成正常高数据进行了处理，详细的分析了结果数据，比较了三种方法的优缺点最后得出如下结论：

1) 经过上述计算过程和数据结果的对比，很容易看出：二次曲面拟合优于平面拟合，三次曲面拟合优于二次曲面拟合，这三种拟合方法三次曲面拟合最为理想，三种方法的拟合精度都优于厘米级，说明了在平坦地区似大地水准面拟合的可行性。

2)拟合的精度与模型有很大的关系。如果地形平坦的地方(如平原区)适合采用平面相关拟合。而在高程异常、变化剧烈的地区(如山区)，通常采用曲面拟合，此时重合点要选在高程异常变化较大的转折处，且应适当增加重合点数量。关键在于要能恰当地反映当地的高程异常变化趋势，并非模型越复杂越好。

3)拟合的精度与已知点的数量有关，当已知点均匀分布于整个测区时，其点数越多，GPS高程拟合的精度就越高，但当已知点数达到一定数量时，再增加已知点数，就不能显著提高拟合精度。只要选取足够多均匀分布于整个测区的已知点进行拟合，就会得到很好的拟合结果。

4)为了提高拟合的精度，在进行GPS高程拟合时，可先用检验点检验模型的拟合效果，在检验合格后，再让检验点作为拟合点参与拟合，这样可以提高拟合的精度。

参考文献：

[1]魏子卿.关于我国大地测量任务的几点思考[J].中国测绘,2000(6):4-7.

[2]覃锋.GPS高程应用的关键在于精化大地水准面[J].测绘与空间地理信息,2006,29(1):40-43.

[3]徐绍铨，张华海,杨志强等.GPS测量原理及应用[M].武汉:武汉大学出版社,2003.

[4]李征航，包满泰，叶乐安.利用GPS测量和水准精确确定局部地区似大地水准面[J].测绘通报,1994,(6).

[5]归庆明,郭建锋,隋立芬等.高精度局部区域GPS水准计算方法的探讨[J].测绘科 学,2001,26(1).

注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。