向量在中学数学中的应用

摘 要： 本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.

关键词： 向量 数量积 平面几何 立体几何

高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.

一、预备知识

1.平面向量的数量积

a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）

坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.

2.平面向量的基本定理

如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.

3.两个向量平行的充要条件

a∥b？圳a=λb

坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.

4.两个非零向量垂直的充要条件

ab？圳a·b=0

坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则ab？圳xx+yy=0.

二、向量应用的探究

1.利用向量解三角问题

例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.

解：原条件式可化为

sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0

构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，

|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0

？圯cosα=？圯α=

由α，β的对称性知β=.

2.利用向量解不等式的问题

对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：

（1）·≤||·||；

（2）|·|≤||·||；

（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·

||；

（4）当与共线时，|·|=||·||.

下面利用这些性质和推论来看两个例子.

例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.

证明：设=（a，b），=（a，b）

则·=a+b，||=，||=

由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.

说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.

3.利用向量求最值问题

最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.

例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.

解：设=（m，n），=（x，y），

则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.

而||=，||=，

从而有mx+ny≤·.

当与同向时，mx+ny取最大值·=.

三、注意向量学习的几个误区

误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.

例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.

显然 = =，但≠.

误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.

例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，

显然≠，≠.

由·=0，可以推出以下四种可能：

①=，≠；

②≠，=；

③=，=；

④≠且≠，但.

误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.

例6：试说明（·）·=·（·）不成立.

解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.

误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.

例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？

①若∥，∥，则∥.

②若||=||，则=±.

③单位向量都相等.

解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.

②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.

③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.

综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.

参考文献：

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