含参数不等式恒成立问题的求解策略

含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点问题，由于这类问题灵活多变、综合性强，令不少学生望而生畏，束手无策。但如果我们掌握解决恒成立问题的多种常见求解方法，通过化归的思想还是能解决此类问题的。

例题1已知不等式x2-2ax+1＞0对x∈1，2恒成立，其中a＞0．求实数a的取值范围．

分析：思路1.通过化归最值，直接求函数f（x）=x2-2ax+1的最小值解决，即fmin（x）＞0；

思路2.通过分离变量，转化到a＜■=■（x+■）解决，即a＜（■）min；

思路3.通过数形结合，化归到x2+1＞2ax作图解决，即y=x2+1图像在y=2ax图像的上方．

简解：思路1．按对称轴ｘ＝ａ与区间1，2的关系分类讨论：当０＜ａ＜１ 时，fmin（x）＝f（１）＝２－２ａ＞0，０＜ａ＜１；当１＜ａ＜２时，fmin（x）＝f（ａ）＝１－ａ２＞0，此时ａ不存在；当ａ＞２时，fmin（x）＝f（２）＝５－４ａ＞0，此时亦ａ不存在．综上所述，ａ的取值范围是０＜ａ＜１．

思路2．由x2-2ax+1＞0得a＜■=■（x+■），x∈1，2，得０＜ａ＜１．

思路3．图略．

思考：x2-2ax+1＞0x３-2ax+1＞0ｌｎｘ-2ax+1＞0，该如何处理？

小结：解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．

例题2已知函数f（ｘ）＝x2-2ax+1，ｇ（ｘ）＝■，其中ａ＞0，ｘ≠０．

（1）对任意x∈1，2，都有f（ｘ）＞ｇ（ｘ）恒成立，求实数ａ的取值范围；

（2）对任意x１∈1，2，ｘ２∈２，４，都有f（x１）＞ｇ（ｘ２）恒成立，求实数ａ的取值范围；

分析：（1）思路、等价转化为函数f（ｘ）－ｇ（ｘ）＞０恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．

（2）思路、对在不同区间内的两个函数f（ｘ）和ｇ（ｘ）分别求最值，即只需满足fｍｉｎ（ｘ）＞ｇｍａｘ（ｘ）即可．

简解：（1）由x2-2ax+1－■＞０得ａ＜■成立，只需满足φ（ｘ）＝■的最小值大于ａ即可．对φ（ｘ）＝■求导，φ（ｘ）＝■＞０，故φ（ｘ）在x∈1，2是增函数，φmin（ｘ）＝φ（１）＝■，所以ａ的取值范围是０＜ａ＜■．

（2）略.

例题3设函数ｈ（ｘ）＝■＋ｘ＋ｂ，对任意x∈1，2，都有ｈ（ｘ）≤１０在x∈■，１恒成立，求实数ｂ的取值范围．

分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．

方法1：化归最值，ｈ（ｘ）≤１０得ｈｍａｘ（ｘ）≤１０；

方法2：变量分离，b≤１０-（■＋ｘ）或a≤-x2+（10-b）x；

方法3：变更主元，φ（a）=■・a+x+b-10≤0，a∈■，2

简解：方法1:对ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）+x+b=■＋ｘ+b求导，ｈ＇（ｘ）=1-■=■，得x=■（极小值点），x=-■（极大值点），故（-∞，-■）增，（-■，0）减，（0，■）减，（■，+∞）增．

由此可知，ｈ（ｘ）在■，１上的最大值为ｈ（■）与ｈ（１）中的较大者．ｈ（■）≤１０ｈ（１）≤１０得４ａ＋■＋ｂ≤１０１＋ａ＋ｂ≤１０得ｂ≤■－４ａｂ≤９－ａ，对于任意a∈■，2 ，得ｂ的取值范围是ｂ≤■．

方法2、3略.

思考：（2010年绍兴市一模数学试卷理第17题改编）在区间ｔ，ｔ＋１上满足不等式ｘ３－３ｘ＋１≤１恒成立，求实数ｔ的取值范围．

分析：利用数形结合思想，对函数f（ｘ）＝ｘ３－３ｘ＋１作图．

图解：

由图可知ｔ∈０，■－１

通过这些例题的分析，我们再次领略了解决恒成立问题的多种常见求解四种方法，（1）化归最值（2）变量分离（3）变更主元（4）数形结合。事实上，这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，通过化归到函数求其最值来处理。

【参考文献】

[1]程文.含参数不等式恒成立问题[J].中学数学教学参考.2010，（06）.

“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”