最优经济资本探析

【摘要】随着新巴塞尔协议的诞生，最近两年对经济资本的讨论成为一个热点课题。新巴塞尔协议中经济资本的计算方法是采用VAR的方法。本文通过经济资本的实质分析，建立了计算经济资本的一个模型，并把这个模型推广到动态情形。模型的结果为我们在巴塞尔协议中使用VaR作为经济资本提供了一个理论性证明。

【关键词】经济资本 RAROC 扭曲风险测度

现代金融企业在经营活动中会面临许多的风险，主要是市场风险、信用风险、操作性风险。这些风险带来的损失又可以分为预期损失和非预期损失。预期损失往往以某种准备金的形式计经营成本，从形式上已经得到了补偿，不构成真正的风险。非预期损失是一种真正的风险，只能通过金融机构的资本来抵御和支撑这种风险，这种用于抵御各种非预期损失的资本称为经济资本。

经济资本不是真正的资本，是一种虚拟资本，它只是一个“计算得到”的数字。它既不同于账面资本，也不同于监管资本。账面资本可以从资产负债表上观察到，等于资产减去负债。监管资本是监管者要求的资本水平，是银行的法律责任。虽然经济资本与监管资本都是风险缓冲，但前者是由银行内部设定的模型计算出来的，而后者则是由监管当局从外部来认定这种缓冲。

从上世纪90年代开始，国际上的一些金融机构开始考虑一些能够表现资本的这种风险缓冲和成本的平衡的度量。其中较为普遍采用的度量是经风险调整的资本收益率（Risk-Adjusted Return on Capital，简称RAROC），它是指经预期损失和以经济资本计量的非预期损失调整后的收益率，其计算公式为：RAROC=(净收益-预期损失)/经济资本。

RAROC强调，银行承担风险是有成本的。在RAROC计算公式的分子项中，风险带来的预期损失被量化为当期成本，直接对当期盈利进行扣减，以此衡量经风险调整后的收益；在分母项中，则以经济资本，代替传统ROE指标中的所有者权益。整个公式衡量的是经济资本的使用效益。

目前，RAROC已在国际先进银行中得到了广泛运用，在其内部各个层面的经营管理活动中发挥着重要作用。高级管理层在确定银行能承担的总体风险水平之后，计算银行需要的总体经济资本，可以此评价自身的资本充足状况.

下面我们的任务是需要建立一个计算经济资本的模型。

一、基本定义

这里我们不加区分的用X表示资本所对应的风险，为了讨论的方便，本文并不要求x>0，这里假设：x>0表示处于净损失状态，x≤0表示净收益状态。

定义1.关于分布函数的逆函数，定义：

实际上，对于一般的（不连续或非严格增的）分布函数，可能有很多的方法定义其逆分布函数，为此，这里对逆分布函数给出更一般的定义　混合逆分布函数：

二、最优经济资本模型

在决定经济资本总量时，我们不需要用可能的最大非预期损失，这样会造成巨大的浪费。有两个目标是互相矛盾的：一方面，我们希望降低风险暴露，即图（1）中的异常损失，则需要有比较多的经济资本；另一方面，由于占有比较多的经济资本会增加成本，所以我们也需要控制经济资本进而降低相应的成本。因此，为了在两个目标之间取得平衡，考虑下面的最小化问题：

这里rc表示经济资本的成本，一般指机会成本，rf表示无风险利率。

三、求解优化模型

选择不同的风险测度,会有不同的结果，现在我们在两种风险测度下分别讨论优化结果。

1、期望原则下的风险测度?

数学期望原则是一种非常常见的风险度量，按照金融经济学的理论，数学期望的风险测度表明了一种风险中性的风险态度。

2、扭曲风险测度

第一部分讨论的数学期望风险测度是一种非常简单的风险测度，虽然模型的结果很好，但是却与现实有一定的差距。因为一般认为在进行资本分析时，决策者应该是风险厌恶的，所以，会有　［X］≥E[X]的要求。这部分考虑一类较期望原则更广义的风险测度-扭曲风险测度。下面首先引入扭曲函数的定义。

定义2.若函数g:[0,1][0,1]，为连续严格增的凹函数，且满足：g(0)=0,g(1)=1。则称之为扭曲函数。

对于任何已知的分布函数Fx(x)，令： ，其中 。显然，当g(x)=x时， 。由g的定义可以看出也可以看作一个新的概率分布函数，称之为变换的分布函数。

定义3.对于随机变量X和扭曲函数g(.)，定义如下的扭曲风险测度　g[X]：

根据文献3的定理2.1可知，当且仅当g(x)≥x时，有　g[X]≥E(X)。所以一般要求g(x)>x(0≤x≤1)。

这个风险测度的意义很明显：首先，风险X原来的尾概率函数1-FX(x)由新的尾概率函数g(1-FX(x))代替，这个新的尾概率函数给右尾更多的权重（因为一般要求g(x)≥x）；其次，它仍然是一种数学期望的计算，是随机变量X按照新的分布函数计算的数学期望。

四、结论

上面的优化结果值得注意的是，在两种风险测度下，我们都得到了经济资本是一个VaR。这为我们在巴塞尔协议中使用VaR作为经济资本提供了一个理论性证明。

五、资本的动态优化模型

1、Wiener过程和随机微分方程的建立

Wiener过程和随机微分方程的建立由于现实中的资产和负债都是随着时间变化的，所以经济资本也应该随着时间而改变。考虑一个有限的时间水平T

2、扭曲风险测度下的连续时间优化模型

我们用扭曲风险测度　g[.]作为风险度量值。由于是动态的，所以前面的优化问题中的rc-rf由

代替，用ut表示t时刻的经济资本总量。鉴于Wiener过程的Markov性，我们的优化问题为：

求解得

【参考文献】

[1] Laeven,Roger J.A：Govaerts,Marc J.:An optimization approach to the dynamic allocation of economic capital, insurance: Mathematics and Economics,Volume:35,Issue:2,October 11,2004。

[2] Tsanakas,Andreas:Dynamic capital allocation with distortion risk measures,Insurance 。

[3] 郑韫瑜、余跃年译：风险理论,上海科技出版社1995。

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。