一道不等式高考题的启示

在高三的第一轮复习中，如何做到精讲精练，提高复习的效率，一直是每一位数学老师必须面对的问题。本文从一道浙江省高考题出发，针对不等式的有关教学，谈谈“等价转化”这种数学思想方法对解决问题的重要作用。

（浙江省2012年高考文科第9题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为（）。

A.■ B.■ C.5 D.6

分析：先对代数式x+3y=5xy进行适当的转化变形，得到■+■=1，再注意常数“1”的灵活运用，用基本不等式解决问题，3x+4y=（3x+4y）（■+■）=■+■+■+■≥2■+■=5，当且仅当■=■，即x=2y=1时取等号，所以正确答案是C。

例题1 设0

分析：先转化为求最值问题，注意常数“1”的妙用，再结合不等式基本性质，求得解。

方法一：设f（m）=■+■，原命题等价转化为f（m）min≥k，而f（m）=（■+■）・1=（■+■）（2m+1-2m）=4+■+■≥4+2■=8，当且仅当m=■时，取到f（m）min=8，即k≤8，所以kmax=8。

分析：将式子f（m）=■+■通分变形，转化为■，再利用基本不等式求解。

方法二：f（m）=■+■=■，而分母m（1-2m）=■・2m（1-2m）≤■（■）2=■，即f（m）=■+■≥8，当且仅当2m=1-2m，即m=■时取等号，所以kmax=8。

例题2 已知x>0，y>0，且■+■=1，则x+y的最小值为_______________。

分析：灵活运用常数“1”，转化为利用基本不等式求最值问题。

方法一：（x+y）・1=（x+y）（■+■）=■+■+■≥■+■，当且仅当■=■，x=■y时取等号。

分析：先用x=■消元，再将式子适当变形，转化为利用基本不等式求最值问题。

方法二：由已知x=■，x+y=■+y=■+■+■≥■+■。

分析：消元后，转化为求函数的最小值，借助函数单调性求解。

方法三：记x+y=■+y=■=f（y），其中x>0，即■>0，y>■。

f′（y）=■，令f ′（y）>0，得y>■或y

例题3 设正实数x，y，z，满足x2-3xy+4y2-z=0，则当■取得最大值时，■+■-■的最大值为______。

分析：结合基本不等式，用等价转化的思想方法，将问题转化为求二次函数的最值问题。

解：由已知，z=x2-3xy+4y2，■=■=■，其中■>0，■>0，■≤■=■，当且仅当x=2y时取等号。

■+■-■=■-■=-（■-1）2+1≤1，当且仅当y=1时，取等号。

由于有些不等式问题中的已知条件给得比较隐晦，需要学生能仔细读题，抽丝剥茧，需要具有较强的分析转化问题的能力，转化为利用基本不等式来求解。

例题4 设正实数x，y，z，若a>1，设函数f（x）=ax+x-4的零点为m，函数g（x）=logax+x-4的零点为n，则■+■的取值范围是_________。

分析：利用互为反函数图像的性质，先得到m+n=4，m>0，n>0，再用基本不等式转化为求最值的问题。

解：f（x）的零点m，即函数y=ax与函数y=-x+4图像交点A的横坐标，g（x）的零点n，即函数y=log■x与函数y=-x+4图像交点B的横坐标。

又函数y=ax与y=logax是互为反函数，其图像关于直线y=x是对称的，而直线y=-x+4与y=x互相垂直，其交点（2，2）是线段AB的中点。

m+n=4，m>0，n>0，■+■=■（■+■）（m+n）=■（2+■+■）≥1，即■+■≥1，■+■∈［1，+∞］。

例题5 如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3、PB=2、PC=1，设M是底面ABC内的一点，定义

f（M）=（m，n，p），其中m，n，p，分别是三棱锥M-PAB，M-PBC，M-PAC的体积，若f（M）=（■，x，y）且■+■≥8恒成立，则正实数a的最小值是_____________。

解：VP-MAB+VP-MBC+VP-MAC=VP-ABC=VA-PBC

■+x+y=■×■×2×1×3=1，即x+y=■，其中x>0，y>0，

要使■+■≥8恒成立，即■+■=2（■+■）（x+y）≥2（1+a+2■）≥8成立，即（■）2+2■-3≥0，（■+3）（■-1）≥0，又■>0得a≥1，amin=1。

例题6 见参考文献第16题 设a>0，b>0，且点（a，b）在过点（1，-1）、（2，-3）的直线上，则S=2■-（4a2+b2）的最大值是__________。

分析：该题综合性较强，先用换元的思想，结合基本不等式转化为二次函数的最值问题。

解：直线为y=-2x+1，则2a+b=1，由基本不等式，■≤■=■，即0

S=2■-（4a2+b2）=2■-（1-4ab）=4ab+2■-1=4（■+■）2-■，

当■=■时，Smax=■。

参考文献：

天利浙江高考命题研究中心.天利38套.人民出版社，2014.