顾森:中文系里的数学传奇

提到顾森，很多人会说：“大牛！”因为，这个留着小胡子、温文尔雅的男生在北京大学中文系就读，他开办了一个数学博客（http：//），八年来一直保持更新，发表了上千篇文章，有上万人订阅。顾森的跨界在高中就开始了，因为对化学缺乏学习热情，在文理分科时，他选择了文科班。于是，顾森成了全校唯一参加信息学竞赛的文科生，比赛主要是考察计算机算法和编程。高二时，顾森和同学们组队参加当年的全国青少年信息学奥林匹克竞赛，坐着车回重庆的路上，老师接到电话后告诉他：被保送北京大学了。

我只是打酱油的数学爱好者

“我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。”顾森说。

顾森从小对智力题或者是任何灵光一现、灵机一动、让他感叹“哦，原来是这样”的东西感兴趣。数学常常让他有“Aha moment”的惊喜和感叹。高一时，顾森有天在网上看到一个问题：设想一个平面上布满间距为1的水平直线和竖直直线，形成由一个个单位正方形组成的网格。任意给定一个面积小于1的图形，证明这个图形总能放在网格中而不包含任何一个格点。乍看之下，他觉得这简直就是一个世界级难题，心里毫无思路。他继续往下看，出人意料的是，整个证明过程只占了不到半个屏幕。顾森还记得当时看完这个证明后，那种无法言表的震撼之感。“这个证明太漂亮了！这可能是我第一次如此强烈地体会到数学证明的美妙。之后，我便有意识地去收集各种精彩的数学证明。这些数学证明的思路一个比一个巧妙，方法一个比一个诡异。”同时，顾森乐于分享，当博客兴起时，他非常高兴地找到一个记录趣味数学点滴的工具，他建立了自己的博客，在博客上把搜集到的数学趣题、漂亮的数学定理跟大家分享，将那些恍然大悟的瞬间传递给大家。

跟顾森聊数学，他能举出各种有趣好玩的例子。他经常被文科背景的朋友们问一个问题：数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？通常顾森会讲一些简单而又深刻的算术游戏，让每个只会算术的人都能或多或少地体会到一些数学的美妙。比如这个经典数字谜题：用1～9组成一个九位数，使得这个数第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。顾森会告诉你，真的有这样猛的数：381 654 729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也可以利用计算机编程找到。顾森还会告诉你另一个有趣的事实是，在所有由1到9组成的362 880个不同的九位数中，381 654 729是唯一一个满足要求的数！对于顾森来说，数学真正吸引人的地方就在于它本身的美，

在顾森眼中，生活里的很多事情可以通过数学的方法来解释、解决。比如，我们喝饮料参与开盖有奖活动时，常常会有被欺骗的感觉：你说中奖率是千分之一，我凭什么相信你呢？顾森就想过一个方法，开盖后顾客会得到一个参与活动的序列号，把这个序列号短信发送给活动举办方参与抽奖。此时，活动举办方的服务器从1到1000中随机生成一个整数，并把这个整数加上你指定的前缀和它自选的前缀，用公开的单向加密方法加密后发回给你。你需要猜出服务器生成的数是什么，如果猜对就能中奖，如果猜错就结束游戏。发送了你的猜测结果后，服务器将发来加密前的信息，确保自己没有撒谎。这就是密码学协议问题，借助加密解密的数学算法构建安全措施和防欺骗条约。

对数学热爱的背后是求知的热情和思考的乐趣。顾森发在博客上的每一篇文章都是经过深思熟虑、仔细推敲的，认真严谨的他在发表之前会逐字逐字校对，他无法容忍有一个错别字。在介绍种种精妙的趣题和证明时，顾森往往会改变证明步骤的顺序和语言表述的方式，以顺应人的直观思维方式，他一定要把证明的巧妙性和启发性表现出来。

很多人被他的博客上有趣、精美的数学图形而吸引，顾森坦承：“画图很花时间，我追求完美。很多人给我发邮件或者网上留言，问得最多的是这些图怎么画的，用什么工具画的。我的回答是：我不是用一个工具，是用很多不同工具。调了修、修了改，有些要编程，这些技巧都是慢慢积累的。”

学习有趣的东西，用博客教有趣东西

和顾森聊天时，听完提问后他会低头整理思路，然后“第一……第二……第三……”地回答，说第一点的时候扯远了，他说完一个段落后就会回到原来的话题，从第二点开始讲起。顾森说：“我自己知道，说文科生其实我是不合格的。现在我的体会是，学政治、历史、地理，如果你真的学对了，真的学习到那些有趣的东西，是挺好玩的。”

事实上，顾森2007年到北大中文系报到时，并不了解自己就读的应用语言学专业。这是北大2002年开设的文理兼收专业，要学信息科学技术学院开设的高等数学、程序设计等课程，也要学中文系开设的应用语言学专业课程。“我完全不知道学什么，但是学了很喜欢，应用语言学是理科的一套方法，有很多非常有意思的事情。”顾森笑着说。

向来爱思考的顾森，在专业学习过程中有很多发现，他现在特别留意语言学现象。有次，顾森在餐厅吃饭，看到宣传资料上的文案写着：农残检测高于国家标准。他就笑了：“不是什么东西高于标准都是好事，但是我转念一想，改成低于也不好。问题就来了，怎么改？”当时顾森并没有想到太好的修改，就把问题留着。一周后，他又去那里吃饭，看到文案已经改过了。“我问过很多人，怎么改？不同人有不同的想法，有人说优于、好于，这些都不好。餐厅改得非常漂亮：严于。看到他们的改法后，我马上意识到，语文教学的目的应该是教会学生听说读写的能力，这才是语文考试真正该考的东西。”顾森强调这不是咬文嚼字，语文不是只教你怎么写怎么念，那样反映不了语文水平。

思考之余，顾森一直有着丰富的实践。高三被保送后他就担任了学校信息学竞赛的小教员，指导高一高二的学生。在北京上学后，顾森在培训机构兼职数学教学工作。他常常思考应该教什么，不该教什么，无论是数学还是语文、物理等科目，顾森坚信教学的目的只有一个：让学的人思考。

在课堂上，顾森从来不会照本宣科。他给学生设计问题时的自我要求是：题本身要吸引人，不包含任何数据；问题描述足够简单，简单到不需要任何纸笔记录，一听就懂，可以在任何时候，不需要草稿纸，走在路上就可以去想；要足够好玩，吸引人，可能跟生活比较贴近，或者跟数学的某个结论相关。顾森举例，A、B两地，出租车从A往B开，你在路上的某一位置。常规假设：出租车是空车、你肯定能打上、车的速度比你快等。提问：为了尽可能快地到达目的地，你应该怎么办？两种思路，一派认为应该迎着车往A方向走，理由是，车的速度比人快，要尽可能利用车的速度，所以要提前上车。另一派认为应该顺着车往B方向走，理由是人和车都马不停蹄地往一个方向走，不浪费任何时间。

顾森班上的课堂讨论，学生们向来是放声讨论的，激动了可以拍桌子。他要求学生们讨论时尽可能想办法说服别人，即使自己是错的。顾森看重这样的能力。讨论结束后，不同观点的小组派代表讲解思路。“学生们为了说服别人会讲得千奇百怪，其中涉及了很多东西，首先是数学直觉，然后是表达能力。有的人在黑板上写了、讲了，我懂他的意思，但是大家都没懂，需要我再叙述。”顾森说，“另外就是数学的分析和计算能力。班上曾经有个小孩很巧妙地说服了所有人。两种方法没有优劣之分，实际上是一样的。这个小孩假设了路程、人的速度、车的速度，取了几种不同的选择，分别算出相遇的时间、车追上人的时间，他算出两种办法花的时间结果是一样的。这是一个最基础的数学方法，你不知道谁对谁错，带着数字进去算就可以了。现在数学教育悲哀的地方在于，居然很少有人想到用这样的办法把答案找出来。”

针对例题，顾森解释，这是寻找不变量的数学题，答案非常简单，两个方案所需要的时间，显然是一样的。你只需要站在车的角度去想，不管人在哪里上车，车都是从A到B，最多加上中途接人的时间，不管人往哪边走，车到达的时间一样，所以不论哪个方法需要的时间一样。其实，顾森还故意留了一个漏洞，需要排除一种情况：人离B的距离太近了，以至于车还没有追上人，人已经到达终点了。顾森期待有学生来质疑，等着学生下课来问。“我希望找到这样的人，能质疑老师，质疑课本，质疑权威、专家。我觉得这都是数学能力。”

虽然在博客里写教科书出现的种种错误、关心教育改革的进程，顾森并不愤青，他有心用全新的眼光重看所有的定义和定理，重新写一份中学的数学教材，具有可读性，打破只讲成套的理论体系，先定义再证明的套路。“我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。”

顾森认为学习数学的过程，应该和人类认识数学的过程一样，从古人计数开始学起，学到算术和几何，学到坐标系和微积分，了解每个数学分支创立的动机，以及这个分支曲折的发展历程。应该在学习中体会到数学发展的每个瓶颈、每个全新理论的伟大之处，体会每一次数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉，体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。顾森坦言他没有找到任何用这种方式学习数学的途径，所以他会花功夫去领悟，然后写出来。

一有时间就学新东西

“大学里自发学习的精神，现在是越来越少了。”顾森感慨。尤其是同学们都忙着考研、留学、考公务员，四年里忙着追求绩点和学分，读书的功利性非常强。顾森告诉记者，清华大学有一个小范围的学习小组，几个人每周在一起分享自己很感兴趣在学的东西。“我觉得挺感人的，他们是希望在大学里重新点燃自我学习、自由学习的精神。学家都会，但是，你不只学老师告诉你要学的东西，还选择性地学习自己想学的东西，甚至能够选择性地不学老师让你学习的东西，我觉得这样的精神是非常难能可贵的。”顾森知道这个小组后，很快地融入其中，参加讨论会，颇有收获。让他遗憾的是学习小组是完全内部的分享会，他希望有了学习的心得后能够在更大的场合分享，让更多人知道，比如放在网络上。但是，小组成员不支持这么做。事实上，这样的一次交流活动是需要付出大量学习时间的。你可能花两天时间学习并且体会到了某些知识，但是要写出来或者讲出来让所有人都明白，可能要再花三五天的时间。很多人觉得花费时间和精力，自己体会到学科的美、科学的魅力就可以了，顾森则是“多了一份心”，他要讲出来，让大家都知道。这也是他坚持写博客的原因之一。“看到别人对于我的分享由衷地感叹：啊，这太巧妙了！看到这样的表情，即使是文字的回复，我也觉得是一种成就感。”顾森笑说。

现在，顾森乐于参加演讲和座谈。他在Open Party讲“与算法有关的三个故事”，在万有青年烩讲“这该死的声调”，在南开大学TEDx讲教育现状等等。比起纯粹的写作，顾森更喜欢面对面地与人们交流，演讲时的他动作丰富，颇有激情，现场总是惊叹、欢笑、掌声一片。让顾森颇为得意的是，他去演讲从来不排练，总能在规定时间内完美结束。“这是有诀窍的，PPT的最后一页要留些内容，是你能就着PPT来讲的，时间到了就结束，时间没到就接着讲。”顾森说，“我还能做到，不论什么时候结束都会有个圆满的句子，就像是原本就该这么说的。”说到这里，他忍不住要表扬下自己。事实上，这也得益于顾森在数学教学中的课堂，积累了大量实践得来的技巧。顾森演讲的效果总是非常好，他善于从特别小的切入点吸引大家，讲了一圈后又回到出发点。顾森在公开场合讲的东西一定是他非常熟悉的，已经琢磨透了想明白的，新东西他不敢讲，一方面是对听众负责，另一方面是烂熟于心的内容才能站在比较高的位置讲，适合普及。

顾森很庆幸自己对数学有如此浓厚的兴趣，他说：“有些人觉得自己不快乐、不成功或者说没有找到方向，可能是他一直没有找到生下来就决定他会感兴趣的那样东西，办法就是多尝试。”数学上的未解之谜多着呢，顾森永远不愁没有事情做，但是，他还有更大的心愿，体验各行各业的新东西，所以一有时间他就学新东西。

虽然从来没有主动参加工作，但是顾森不会拒绝机会。他受邀加入数学教学工作，既赚到生活费也对教学有了更多思考和实践；他在果壳网工作的那段时间，见证了网站从零到上线到发展的过程，了解到网站运营、编辑等的具体工作和思路；他受邀在人人网实习，充分发挥专业所学，完成了《互联网时代的社会语言学：基于SNS的文本数据挖掘》。顾森不给自己做计划，他愿意尝试各行各业，去做各种事情。“不是每个人都能想到以后要干什么的。”顾森说，“我一直是这样，没有主动去想过做任何事情，都是时机来了，各种原因促使我做。”当然，前提是有积累、有准备，这个准备就是你在自己有兴趣做的事情上做得够多、够深入。