一类有关摩擦力习题的错解剖析

在牵涉摩擦力的习题中，将会遇到一些新的物理情景。譬如，一个物体与另一个物体的接触处同时具有两个不同方向的相对滑动（或相对滑动趋势）。对于这类习题，有不少学生在分析其摩擦力时甚感困惑，往往出现错误解答。下面将通过典型例题对其错解加以剖析，并给出正确解法。

例题1如图1所示，质量为m的物块与水平转台之间的最大静摩擦力为物块重力的K倍，物块与转轴OO′相距为R。物块随转台由静止开始加速转动，当物块的线速度增加到v时即将在转台上滑动，则此时物块所受摩擦力f的大小和方向的判断正确的是

A.f=kmg,方向指向圆心

B.f=mv2/R,方向指向圆心

C.f=kmg,方向偏离圆心

D.f=mv2/R,方向偏离圆心

错解物块即将在转台上滑动还未滑动时，转台对物块的最大静摩擦力f恰好提供向心力，已知此时物块做圆周运动的线速度为v，故有f=kmg=mv2/R

f的方向为沿着半径指向圆心。

由此可知，选项A、B均正确。

剖析上述解答只考虑到物块沿半径方向（法向）远离圆心的运动趋势，而忽视了物块沿切线方向的运动趋势，将题意中转台的加速转动混同为匀速转动，片面地认为物块所受的最大静摩擦力恰好提供向心力，从而错误地选择了A、B两个选项。

正解物块即将在转台上滑动时，所受的摩擦力f为最大静摩擦力fm，依题意有

f=fm=kmg

由于物块随转台由静止开始加速转动，在物块开始滑动之前既有沿法向（半径方向）远离圆心的运动趋势，又有沿切向（圆弧切线方向）滞后运动的趋势。那么，物块相对转台总的运动趋势既不沿法向，也不沿切向，而是介于这两者之间。则物块所受静摩擦力（含最大）的方向应与其总的运动趋势方向相反，这一方向显然要偏离圆心，如图2所示。故只有选项C正确。且因这时是由最大静摩擦力的一个分力提供向心力，故选项D是错误的。

例题2如图3，为倾角θ是30°固定的立体图斜面。在该斜面上有一重为G的物体P，若用与斜面底边AB平行的恒力F=G/2推它，恰好能使它做匀速直线运动。则该物体与斜面之间的动摩擦因数为_________。

错解依平衡条件，斜面对物体P的滑动摩擦力f恰与推力F平衡，有

而物体P与斜面的压力

则所求的动摩擦因数为

剖析上述解答忽视了对物体P在立体斜面横向滑动这一新情景下的受力情形进行全面分析，未注意它所受的重力平行斜面向下这一分力产生的效果，从而在应用平衡条件时，片面地认为滑动摩擦力恰好等于推力F，其解答一开始就陷入误区。

正解依公式f=μFN，要求出动摩擦因数μ，必须先求出滑动摩擦力f和压力FN的大小。求f大小的方法并非唯一，下面介绍其中一种方法。

物体P共受四个外力，即除受推力F外，还受重力G，斜面的支持力FN（等于压力）和摩擦力f。将重力G沿平行斜面（与BC平行）和垂直斜面方向正交分解，分别得出分力G1和G2，显然有G1=Gsin30°G2=Gcos30°

可以认为物体P相对斜面同时参与两个运动：一个是沿推力F方向的滑动，另一个是沿G1方向的滑动，这两个运动的合运动方向就是其在斜面上实际运动方向，且这一方向恰为F与G1的合力F′的方向，如图4所示（图中的平行四边形实为矩形）。

合力F′的大小可依勾股定理求出，即

已知物体P沿斜面做匀速运动，依平衡条件，它所受的滑动摩擦力必跟F′方向相反（即跟相对斜面的实际运动方向相反），且大小相等，得

显然，物体P与斜面的压力为

例题3一个质量m=15kg的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱A、B上（如图5所示）。钢件的重心与两圆柱等距，两圆柱的轴线在同一水平面内。圆柱半径r=0.04m，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。两圆柱各绕自身的轴线向内侧作方向相反的转动，其角速度均为ω=10rad/s。若沿平行于圆柱轴线方向施加推力，使钢件作速度为v0=0.3m/s的匀速运动。试求该推力的大小。设钢件左右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。重力加速度取g=10m/s2。

错解钢件所受滑动磨擦力的大小为

已知钢件在沿轴线方向的推力作用下做匀速运动，依平衡条件，该推力F的大小恰等于摩擦力f，即

剖析上述解答忽视了圆柱A、B转动所产生的磨擦效果，片面地认为每根圆柱对钢件的磨擦力方向只跟钢件的轴向速度v0方向相反，从而导致错误。

正解因钢件与圆柱之间有相对滑动，它们之间定将存在滑动摩擦力。先求圆柱A对钢件的摩擦力fA的大小，易知：

由对称性可得，圆柱A所受钢件的压力为

将②式代入①式，且代入数据得

fA的方向应跟接触处钢件相对于圆柱A的合速度方向相反，在接触处，钢件相对于圆柱A一方面有沿轴线向前运动的速度v0，取此方向为x轴正方向，即有vx=v0;另一方面因圆柱A向内侧转动，接触处钢件相对圆柱A还有沿水平面向外侧且垂直于x轴方向的速度v1，显然v1=rω，取此方向为y轴正方向，即有vy=v1=rω。

代入已知量得

依前所述，磨擦力fA的方向与合速度v的方向相反，即fA与x轴的负方向也成θ角，仍如图6所示。

fA沿x轴（即沿圆柱A的轴线）的分量为

下面再求圆柱B对钢件的磨擦力fB,设它沿x轴（即沿圆柱B的轴线）的分量为fBx,同理可得（或由对称性可知）

依平衡条件，钢件所受推力F应跟fAx和fBx的合力平衡，则有

将上述所求的fA=15N和θ=53°代入③式，可得推力

以上各例的错解，主要是对这种新情景下摩擦力的方向含混不清造成的。综上所述，一个物体在另一个物体的接触处（存在压力）同时具有两个不同方向的相对运动（或相对运动趋势）时，它所受的滑动摩擦力f的方向就跟这两个运动的合运动（或合速度）方向相反，其大小仍遵循摩擦定律公式f=μFN；它所受的静摩擦力fs的方向就跟这两个运动趋势的总趋势方向相反，fs的大小可依题目所提供的条件，用相应的物理规律，如平衡条件等求出（fs若为最大静摩擦力也可用公式直接计算，但它超出中学物理范围）。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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