运用中国哲学观点对几个中学数学问题的思考

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）36-0161-03

数学与哲学一直伴随着人类文明的发展，两者一直密不可分，相依相存。在西方，古希腊罗马的神数观念、柏拉图的理念世界和毕达哥拉斯学派万物皆数的观念，都曾经企图用数学来阐释世界的本原。在数学发展的各个时期，有不少数学家同时又是哲学家，其中著名的有毕达哥拉斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、高斯、皮尔逊、希尔伯特、罗素、哥德尔等，在我国当代，也有徐利治、王梓坤等。这是因为客观世界的任何对象或事物都有质与量的对立统一，哲学是探索整个客观世界最普遍的规律性，而数学仅从量的侧面去探索客观世界的规律性，对数学本体论，认识论、方法论的研究导致数学哲学的诞生。本文力求想用中国哲学的观点来解释几个中学数学问题，以引发我们用中国哲学的观点来审视、思考数学。

一、第二次数学危机的中国哲学思考

18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础――无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量x，应用二项式（x+x）n，从中减去xn以求得增量，并除以x以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让x变为0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做法违反了矛盾律――先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。”他认为，无穷小量既等于零又不等于零，召之即来、挥之即去这是荒谬，无穷小量为逝去量的灵魂。从中我们可以发现，悖论的焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？这个悖论引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。

18世纪的数学思想的确是不严密的，直观地强调形式的计算而不管基础的可靠。其别是没有清楚的无穷小概念，导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论，认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。”无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，第二次数学危机基本解决。

无穷小量是一个要怎样小就怎样小的量，那可不可以找到一个比它更小的量，它到底是一个多小的量呢？无穷小量无限逼近于0，却又不是0，这又如何去理解呢？对无穷小量的理解让人们限入了矛盾之中。中学数学的函数图形也出现这样的现象，如反比例函数y=■，函数图象在第一象限随x的增大而无限趋近于x轴，但不会与x轴相交。这种无限逼近的状态是一种什么状态呢？既然随x的增大图象与x轴距离越来越小，那就总有距离为0的一天，为什么永远不会相交呢？人们似乎一直想找到无穷小和无穷大到底在什么地方，就象人类一直想寻求宇宙的尽头在哪里，最小的事物是什么。

《庄子・天下》记载了惠施（约生活于公元前305至前306间）的思想：“至大无外，谓之大一，至小无内，谓之小一”。在《庄子・秋水》中记载这样一个故事：秋天来到，黄河河水上涨，河伯（河神的名字）为自己的伟大十分得意。及至随河水入海，才在大海中发现自己微不足道。河伯对海神北海若说：“本来以为自己多么浩瀚，现在和大海相比，才认识到自己多么渺小。”北海若回答说：“若和天地相比，北海也无非是大谷仓里一颗细小的米粒。因此，只能称自己为‘小’，而不能称自己为‘大’”。河伯又问北海若：“如此说来，天地是否可以称作‘至大’，而一根头发的毫末则是‘至小’”？北海若回答说：“人所知道的要比他所不知道的少得多，人的生命比他没有存在的时间要短得多，人如何敢说，头发的毫末就是‘至小’天地就是‘至大’”呢？然后，北海若说：“大和小，都因有形，而后才有大小，其实，至小就无形可言，至大就不可能有任何范围。”

古人常说的天地是最大的事物，秋毫之末是最小的事物，其实这都是就现实经验而言。《庄子・秋水》篇里所说“因其所大而大之，则万物莫不大；因其所小而小之，则万物莫不小”。所以，在现实经验中，大的东西和小的东西都只是相对而言。

“至大”、“至小”并不特指任何现实事物，只是两个抽象概念。我们可以这样理解，数学中的无穷小量就是庄子所提到“至小”，无穷小量就无形可言。同样，数学中的无穷大也是不可能有任何范围的。

既然无穷小量无形可言，那么如何去理解它的无形呢？无形似乎就是不存在，如果它不存在，我们又如何去表达它呢？中国的哲学家给出了他们的解释。名家学派揭示出“超乎形象之外”或“形而上”的存在。我们在思考无穷小量时，我们只思考“形而下”的存在，即现实世界。名家学派认为一切“形而下”的事物都有名字，或至少有命名的可能，它们是可以命名的。老子却指出，除了“可以命名的”之外，还有“无法命名的”。形而上的事物也并非都无法命名，但凡以“无以命名的”必定是形而上的。中国道家的“道”和“德”便是属于这一类概念。

所以《老子》第一章开头便说“道可道，非常道；名可名，非常名。无名，天地之始；有名，万物之母。”在第三十二章又说：“道常无名，朴。虽小，天下莫能臣。”再看第四十一章：“道隐无名”。道作为万物本原，无从命名，所以无法用语言表达它。但我们又想表达它，便不得不用语言来加以形容。称它为“道”，“道”其实不是一个名字。《道德经》第四十章说：“天下万物生于有，有生于无。”《道德经》第四十二章说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这里所说的“一”即“有”。说“道生一”，也就是说“有”生于“无”。所以，“道”为“无”，人不可能在现实世界中找到“道”。同样，人不可能通过现实的经验来决定现实事物之中，哪个是最大，哪个是最小。但如果跳脱出现实经验的范围，我们可以说：无外的乃是“至大”，无内的乃是“至小”。

所以，按照中国哲学家的分析，数学中的无穷小和无穷大是一个绝对的、不会改变的抽象概念。无穷小和无穷大都是难以设想、无以名状的，我们可以称无穷小和无穷大为“无名之名”。无穷小量既等于零又不等于零，看似矛盾，在实质上并不然。无穷小量存在于无限的世界，而不是我们接触的有限世界里，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”揭示了这个无限的世界的存在。庄子认为人们要超越有限，从一个更高的观点看事物。庄子把囿于有限的观点比作“井底之蛙”，只看到天的一角，便以为那就是天的全体。

二、数学事物统一性的中国哲学解析

我们在高中数学中研究了椭圆、双曲线、抛物线的定义及基本性质，可归纳出圆锥曲线的5种统一性。

统一性1：圆锥曲线的定义：到定点与到定直线的距离之比为常数e的动点的轨迹。我们发现它们的定义是完全相同的，只是其中的e不同。即0

统一性2：随着e的增大，椭圆越变越扁，但左半部分开口越来越大，左顶点离L越来越近，而右顶点离F点越来越远；当e趋近于1时，左顶点趋近于F与L间的中点，而右顶点趋向无穷远处；当e=1时，我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处，此时曲线变为抛物线；当e>1时，开口越来越大，右顶点超过无穷远处并开始返回，此时曲线变为双曲线两支，或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处。

于是我们认为，三条圆锥曲线都为封闭图形，其形状都为椭圆，所以圆锥曲线在图形上依然存在着统一。这是一种无限的思想，所以我们可更大胆猜想如果人一直往前走，当生命允许的话，最终会走到自己的背后，同样我们也可认为直线，x轴也为封闭的图形。

统一性3：平面截圆锥所得的截线将得4种圆锥曲线，我们可以发现，固定一个顶点，它的另一个顶点在圆锥的母线上向下运动，当运动到无穷远处时，曲线变为抛物线，再运动时，曲线变为双曲线，顶点从上方返回。如果利用无限的思想，我们可以认为它们也是统一的。

统一性4：运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，于是我们感觉到在冥冥宇宙中，似乎有一种神奇的力量使天体运行遵循着一种统一。

统一性5：在平面直角坐标系中，从方程的形式上看，四种曲线都是二元二次的，圆锥曲线在方程形式上也存在着统一，所以我们又把它叫做二次曲线。

椭圆、双曲线、抛物线三种曲线存在太多的不同，但我们从5种不同角度发现了它们之间的统一性，体现了辩证唯物主义中对立统一的思想。

《庄子・天下》中记载了惠施的思想：“泛爱万物，天地一体也。”论证了万物相对存在于流动不居之中。事物之间没有绝对的不同，也没有绝对的隔离，事物都在不停地转化为别的东西。《庄子・天下》阐述的另一点是“大同而与小同异、此之谓小同异；万物毕同毕异，此之谓大同异。”《庄子・齐物论》中说：“其分也，成也；其成也，毁也。凡物无成与毁，复通为一。”《庄子・齐物论》又说：“天下莫大于秋毫之末，而大山为小；莫寿于殇子，而彭祖为夭。天地与我并生，而万物与我为一。” 就逻辑来说，所有这些都揭示了万物归一的哲理。

三、平面的中国哲学思考

几何学中的平面是什么？中学教学教材中是这样描述的，“广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象。和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念。”教材只对平面进行了描述性定义，并没有给出其严格定义。那么平面到底多厚呢？教材中也描述了平面没有厚薄、是无限延展的。

《庄子・天下》阐述平面的含义，即“无厚，不可积也，其大千里。”就是说，一个没有厚度的东西不可能使它厚起来。所以，我们认识哲学与数学，正如数学家Demollins所指出的那样：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。”

参考文献：

[1]冯友兰.中国哲学简史[M].天津：天津社会科学院出版社，2005，（10）.

[2]李习凡.椭圆、双曲线、抛物线的统一性[J].考试，2013，（9）.