结构力学中使用位移法来解决带有无限刚性杆结构的解法

【摘 要】 主要介绍使用位移法来解决带有无限刚性杆件的复杂结构以及由于刚性杆的存在使得结构在发生位移时会产生复杂的牵连位移。

【关键词】 位移法 无限刚性杆 牵连位移

1 前言

位移法是以结构的节点位移作为基本未知量来求解结构的受力状态。在解决一般的超静定次数多，用力法不好解决的刚架、桁架以及组合结构中运用的相当广泛。一般的结构用位移法都好解决，但是带有无限刚性杆的结构就不是那么容易解决的了。要解决这类问题，第一，我们要了解结构的特点以及支座的类型从而可以判断出该结构的自由度数以及基本未知量。第二，要了解无限刚性杆在这个结构中处于什么作用？当结构产生位移时，这个无限刚性杆是不是参与进去？如果参与进去将会产生何种位移以及连接在该刚性杆上的杆件会产生什么样的牵连位移？第三，确定好这些内容后，就可以增加相应的约束，以及根据几何关系来确定牵连位移。

所谓的牵连位移，是指由于某些附加条件，使得节点位移之间相互不独立，或者说它们之间存在一定的牵连关系。如图1所示：如果忽略杆件的轴向变形，那么无论荷载情况如何，根据几何学的原理均可以判定C、D两节点的线位移均在水平方向，而且肯定是相等的，这是很简单的牵连位移。

复杂的牵连位移是指相互不独立的结点位移之间并非简单地相等，它们之间的关系可以用数学表达式表达。牵连关系可以发生在线位移之间，也可以发生在线位移和角位移之间。下面我们就用一道例题来详细讲解一下。

2 例题分析

如图2所示，该结构为一平面刚架，杆AC、CD、CE长为L，CP长为0.5L，其中P处受一集中力F的作用，刚度EI为常数，其中DB杆的刚度为无穷大。试用位移法作出该结构的弯矩图。

解：由图可知该结构有三个自由度，分别是E点、C点的角位移以及D点的线位移，因为有刚性杆的存在，当D点向左移动单位位移1时与D连接的杆件DE和DC也会相应的产生角位移和线位移这就构成了复杂的牵连位移，下面我们来一一作为解析。

首先用两个刚臂束缚住E、C的角位移，然后用一个连杆束缚住D点的线位移，如图3所示。

由于E和D点发生角位移的弯矩图很基础，在这里笔者就不叙述了，这题的难点在于D点发生线位移时的弯矩图的画法，下面我就来详细讲述。

撤去D点处的约束，当D点向左发生单位位移为一时，由于D是刚性杆B处是铰支座所以B处发生一个转角如图4所示。

由图可知连接在D点出的杆件DE和DC均发生角位移和线位移，有几何关系可知DE杆绕它的垂直方向发生线位移根号2，DC杆沿竖直方向发生单位位移1，由于刚性杆沿其垂直方向发生位移根号2，所以可知tana=1|l，有高阶无穷小可知tana等价于a，所以可知刚性杆沿铰B转动的角度为1|l，用同样的方法可以得到杆件DE和DC在D处均发生角度为1|l，由于B处顺时针转动，所以可知DE和DC也是顺时针转动，将DA和DE杆件由线位移产生的弯矩和角位移产生的弯矩相互叠加，然后根据D结点弯矩平衡可以确定刚性杆的弯矩，从而就可以画出该结构的弯矩图。如图5所示。

3 结语

该弯矩图画出后，后面的就是基本计算，这道题也就解决了。实际上我们所遇到的这样的题无外乎就是这样，先确定结构的自由度，然后用相关约束对可能产生的位移进行约束，然后确定连接在无限刚性杆的杆件产生的线位移和角位移的大小以及方向，最后将由线位移产生的弯矩与角位移产生的弯矩相互叠加，再根据结点弯矩平衡确定无限刚性杆的弯矩，只要明白这点，类似问题就会得到很好地解决。

参考文献：

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