浅议“1”在三角函数中的作用

在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。

一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题

在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。

例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα

解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。

解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α

=（sinα+cosα）2=sinα+cosαα是第一象限角 sinα+cosα>0

1+2sinαcosα=sinα+cosα

例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。

解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。

解：sin2α+cos2α=1 （m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 m=0或m=8

二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题

在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。

例3：求值1+tan15°[]1-tan15°

解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式tan（α+β）=tanα+tanβ[]1-tanαtanβ与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的tanα与题目中1的位置相同，则自然会想到1=tan45°，后面的问题自然容易解决。

解：1+tan15°[]1-tan15°=tan45°+tan15°[]1-tan45°tan15°=tan（45°+15°）=tan60°=3

三、利用1可以作为任何数或式子的分母进行解题

例4：（1）已知tanα=3，求sinαcosα的值。

（2）已知tanα=2，求sin2α-2sinαcosα+3cos2α的值。

解析：这两道题都是一个齐次式，这类题目的特点是已知角的正切值，求含有正弦、余弦的三角多项式的值。解题的方法是化弦为切，而这两题化弦为切有一定困难，所以要观察它们的特点：没有分母。因此，无法利用传统的方法解题。若能考虑到它们的分母为1，而1=sin2α+cos2α.这样问题就迎刃而解了。

解：（1）sinαcosα=sinαcosα[]sin2α+cos2α=tanα[]tan2α+1=3[]9+1=3[]10

（2）sin2α-2sinαcosα+3cos2α=sin2α-2sinαcosα+3cos2α[]sin2α+cos2α=tan2α-2tanα+3[]tan2α+1=3[]5

例5：求值：cos20°cos40°cos80°

解析：观察这道题中角度分别是二倍关系，所以要利用二倍角公式，把这个式子的系数1转化成2sin20°[]2sin20°，就可以构造成二倍角公式了。

解：原式=2sin20°[]2sin20°cos20°cos40°cos80°=sin40°cos40°cos80°[]2sin20°=sin80°cos80°[]4sin20°=sin160°[]8sin20°=1[]8

四、借助“1”引入辅助角，利用和角公式求函数的最值问题

辅助角公式的推导：asinθ+bcosθ=a2+b2（a[]a2+b2sinθ+b[]a2+b2cosθ）

（a[]a2+b2）2+（b[]a2+b2）2=1不妨设a[]a2+b2=cosφ，b[]a2+b2=sinφ

由此可得asinθ+bcosθ=a2+b2sin（θ+φ）利用这个公式我们可以解决三角函数的最值、周期等问题。

例6：求y=3sinx+cosx的最值和周期。

解：y=3sinx+cosx=2（3[]2sinx+1[]2cosx）=2sin（x+π[]6）ymax=2 ymin=-2 T=2π

例7：求函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时的x的值。

解：f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+cos2x+sin2x+2・cos2x+1[]2

=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+π[]4）+2

当2x+π[]4=2kπ+π[]2，即x=kπ+π[]8（k∈Z）时，ymax=2+2

通过对上述题目的解析，我们可以领略到“1”的重要性，只要我们认真地观察、分析、体会并恰当地利用它，一定会给我们的解题带来事半功倍的效果。