条条大路通罗马――一道数学练习题的几种解法的思考

【前言】条条大路通罗马――一道数学练习题的几种解法的思考由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。SABC=2SABD=2・12AB・BD・sin∠ABD=4x・sin∠ABD=4x1-cos2∠ABD， 在ABD中，cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB・BD=4+4x2-x28x=3x2+48x代入上式得： SABC=4x1-4+3x28x2=-94x2-2092+649. 由构成三角形的条件：2x+x＞2x+2＞2x解得:23＜x＜2， 故当x=253,SABC取得最大值83. 分析：...

著名的数学家保罗・哈尔莫斯说过：“数学究竟是由什么组成？公理？概念？定义？方法？诚然，没有这些组成部分，数学就不存在，这些都是数学的组成部分.但是，他们中间任何一个都不是数学的心脏――数学家存在的理由是解决问题，因此数学真正的组成部分是问题与解.”

在苏教版高中〈必修五〉的第一章解三角形中，有正弦定理和余弦定理的内容，而正，余弦定理也是高考的重要内容之一，它通常会与三角，向量，函数等内容相结合，下面就通过一题多解，来谈谈对学生思维培养.

例题 如图：已知等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD长为2，则ABC的面积的最大值是多少？

分析：因为D为AC的中点，所以SABC=2SABD，然后设AD=x,则AB=2x,这样这个三角形的三条边长都有了，再利用余弦定理及同角三角关系求解.

解法一：设AD=x,则AB=2x,由面积公式得：

SABC=2SABD=2・12AB・BD・sin∠ABD=4x・sin∠ABD=4x1-cos2∠ABD，

在ABD中，cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB・BD=4+4x2-x28x=3x2+48x代入上式得：

SABC=4x1-4+3x28x2=-94x2-2092+649.

由构成三角形的条件：2x+x＞2x+2＞2x解得:23＜x＜2，

故当x=253,SABC取得最大值83.

分析：抓住BD这条已知的边，建立坐标系，设A的坐标建立等量关系求解，这样拓展了学生的解题的思路，也很好地把坐标化的思想进行了渗透.

解法二：以BD所在的直线为x轴，BD的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则B（-1，0），D（1，0），设A（x,y）,则由AB=2AD得：(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，

即：x2-103x+y2+1=0，故y2=-x2-103x+1=-x-532+169≤169,

所以｜y｜≤43,所以SABC=2×12×BD×｜y｜=2｜y｜≤83.

分析：由于前面刚讲过三角函数，引导学生思考.要求的面积怎么来表示？设哪个角比较方便地表示边？表示哪条边？这样一步步地向前引导.引进角这样一个变量，把边转化成用角来表示，然后用三角里面的知识处理最值问题.

解法三：过D点作DEBC于E，过A点作AFBC于F，

设∠DCB=θ,则DE=2sinθ,AF=4sinθ,又E是FC的中点，F为BC的中点，

BF=43cosθ,BC=83cosθ,S=12×83cosθ×4sinθ=83sin2θ,

当θ=45°时,Smax=83

分析：解法一是求的ABD的面积，ABC的面积好不好表示呢？设AD=x,那么底BC的长好不好用x来表示？注意到∠ADB+∠CDB=180°，它们的余弦值互为相反数，这样建立联系.再利用在直角ABF中，把高AF的长求出来，进而问题获解.

解法四：

设AD=x,

则CD=x,AB=2x,在ABD中,cos∠ADB=BD2+AD2-AB22AD・BD=4+x2-4x22・2・x,

在BCD中，cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD・DC=4+x2-BC22・2・x,

又∠ADB+∠CDB=180°,cos∠ADB=-cos∠CDB,BC=8-2x2

又在RtABF中,cosB=BFAB=128-2x2x=

8-2x24x,

sinB=1-8-2x216x2=18x2-84x

S=12BC・AF=128-2x2・2x・18x2-84x=14(8-2x2)(18x2-8)=

-94x4+10x2-4=

-94x2-2092+649

由构成三角形的条件：2x+x＞2x+2＞2x解得:23＜x＜2，

故当x=253时,SABC取得最大值83

分析：利用海伦公式主要是拓展一下学生的思维.

解法五：设AD=x,则AB=2x,

由海伦给出的三角形面积公式：

S=p(p-a)(p-b)(p-c),p=12(a+b+c)

SABC=2SABD=

232x+132x+1-x32x+1-2x32x+1-2

=294x2-11-14x2

=-94x4+10x2-4=

-94x2-2092+649

由构成三角形的条件：2x+x＞2x+2＞2x解得23＜x＜2，

故当x=253时,SABC取得最大值83