由“阿基里斯与龟”想到的……

作者简介：侯俊平（1965.10-），性别：男，民族：汉，籍贯：北京，单位：北京铁路电气化学校，学历：本科，职称：高级讲师，主要研究方向：数学、计算机网络教育教学班级管理。

（北京铁路电气化学校北京100000）

摘要：恩格斯指出，数学是“辩证的辅助工具和表现方式”，充分肯定了辩证法在数学中的存在。本文将从数学基础教学的实际出发，通过“阿基里斯与龟”等通俗的例子，阐明数学教学中辩证法思想因素对学生进行德育素质教育。

关键词：数学;辩证法因素;德育素质教育

对数学课程中唯物辩证法的思想因素的发掘和运用应是数学教学中德育的重要内容。它可以突破德育滞留于表面的倾向，使德育进入一个较深的层次，让学生在学习数学知识，接受思维训练的同时，很自然地受到有意义的、生动活泼的思想教育，为他们形成良好的个性风格、掌握科学的方法论、树立正确的世界观打下牢固的基础。

一、渗透思想教育

对学生进行必要的政治思想教育是数学教学的任务之一。教学中对诸如对立统一、质量互变等辩证法的基本观点的适时运用，可使知识教学和思想教育有机结合，在激起学生求知欲的同时达到思想教育的目的。

例如，在极限概念的教学中我们用“阿基里斯与龟”的趣题来提问学生：

阿基里斯（古希腊神行太保）与龟赛跑，假设出发时乌龟已领先一段路程，那么阿基里斯永远追不上龟。

“假设阿基里斯和乌龟的出发位置分别是a1和b1，当阿基里斯到达位置a2=b1时，乌龟已到达前面的位置b2，而当阿基里斯到达a3=b2时，乌龟又到达更前面的位置b3，这个过程无限地进行下去，因此阿基里斯只能无限地接近乌龟，永远追不上它。这种说法对吗？”

学生凭实践经验易知这一结论是荒谬的。但有的学生却认为，这样的推理过程似乎也有道理。bn>an，bn-an永远不为零，不就说明阿基里斯永远追不上龟吗？可见要学生指出错误的原因就并不那么容易了。

解释这个悖论要用到数列的概念，阿基里斯的相继位置构成数列

a1，a2，…，an，…（n=1，2，…）

乌龟的相继位置构成数列

b1，b2，…，bn，…（n=1，2，…）

当n无限增加时，数列{an}，{bn}的共同位置p，即点p处阿基里斯便完成了与龟的距离趋于零的极限过程，追上了乌龟，即：limn∞an=limn∞bn=p。

学生从这里十分清楚地体会到有限与无限之间，对立统一的辩证关系，从量变中认识质变的极限思想的客观实践基础和应用价值，而且看到批驳谬论、辩明是非的有效办法应是科学的理论分析和客观实践的检验。

二、学习科学方法

结合知识的讲授，有意识地提供机会，恰如其分地引导学生运用联系、变化等观点去辩证思考问题、分析问题，不仅能加深理解知识，而且能逐步掌握科学的方法论，为树立辩证唯物主义世界观打下基础。

例如，关于二次曲线C：f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的类型判别，有这样的结论：

1.当“判别式”（=B2-4AC<0时，曲线C为椭圆型;

2.当（=0时，曲线C为抛物线型;

3.当（>0时，曲线C为双曲线型。

对于这一结论，一些学生会很自然地联想到它与一元二次方程用判别式判断根的情形存在着什么联系呢？我们启发学生用运动的观点去考虑曲线C与直线y=kx的公共点的情形：曲线C的方程两边同除以x2，得A+B（yx）+C（y2x2）+D（1x）+E（yx2）+F（1x2）=0

当x∞，y∞，y/xk时，上式取极限得

Ck2+Bk+A=0

1.当（=B2-4AC<0时，关于k的二次方程无解。说明直线y=kx与二次曲线C在“无穷远”处无公共点，因此曲线C是椭圆型;

2.当（=0时，方程只有一解，即直线y=kx与曲线C在“无穷远”处有唯一公共点，故曲线C为抛物线型;

3.当（>0时，方程有两解，即直线y=kx与曲线C在“无穷远”处有两个公共点，故曲线C为双曲线型，此时的直线y=kx是曲线C的渐近线（或其平行线）。

由此可见，要让学生从思维定势中解脱出来，进而提高思维的灵活性、深刻性、创造性等品质，就必须使他们学会辩证地观察、思考和转化数学问题。