对2011版课标视域下“数学理解”的理解

【摘 要】数学理解是数学课程和教学的重要目标之一，数学学习强调理解，理解是学好数学的关键，教师应有意识地关注学生的数学理解，积极探索能有效促进学生的数学理解的措施和策略，以理解促进数学的教与学。

【关键词】2011版课标数学理解实践策略《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）中用“了解、理解、掌握、运用”等行为动词来表述结果目标，并在实施建议中明确指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识间的关联……学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础……”这段话深刻地指出了“理解”在数学学习中的重要性，它是数学学习最为关键的一个环节。没有理解就没有深刻的思维；没有理解就没有数学素养的提升；没有理解，数学知识就会被架空，甚至于所学的知识一出校门就毫无用处。因此，“数学理解”应成为当下数学教育改革的重中之重，学好数学就必须真正、有效地落实“数学理解”。

2011版课标是这样定义“理解”的：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。由此，我认为，数学理解，就是根据具体的情景，以数学材料为媒介，通过操作等意义建构过程形成抽象的数学表征，再对其进行整合、修正，以达到对数学知识全面、完整、正确的认识。这是一个动态的过程，因为要理解知识往往要经过两次或多次的教学与训练，甚至还会出现反复的情况；这也是一个复杂的过程，理解不是对数学知识做简单的对与错的判断，在理解与不理解之间存在着“灰色地带”；这还是一个发展的过程，前后知识相互关联、相互影响，尤其是后面的知识能帮助学生理解前面的知识，起到深化、提升的作用。

一、“数学理解”的教学意义

1.数学理解是数学课程和教学的重要目标。

仔细阅读2011版课标，我们不难发现，无论是课程基本理念、教学建议、评价建议还是教材编写建议，都把促进学生的数学理解放在了重要的位置。可见，数学理解已成为2011版课标中数学课程与教学的重要目标。

2.数学理解是学生获得数学对象意义的关键环节。

有人说：“数学学习中，理解是第一位的。”如果不能真正理解所学的数学对象，那学生对数学知识的运用及其数学能力的发展就无从谈起。学生只有经过思考并正确地理解了所学知识以后，才有可能将其纳入自身的认识结构中，并将其转化为自己的精神财富。

3.数学理解有利于学生提出问题和解决问题能力的培养。

提出问题和解决问题是数学学习中的一种能力，而这种能力的发展需要以获得数学理解为前提。学生只有在所学知识内容的“是什么”和“为什么”之间建立起恰当的数学理解，才能在接下来的学习过程中进一步产生丰富的联想，提出新问题，产生新方法，进而加深对所学知识的理解。

4.数学理解有利于学生数学素养的形成。

数学理解对于完善学生个体大脑内部的知识结构网络具有至关重要的作用，这种认知结构能促进和加快学生对新知识的理解和记忆，在旧知与新知之间建立起联系。只有抓住了学习的关键――数学理解，建构起知识网络，学生才会觉得数学学习不是枯燥无味的，才会产生良好的学习动机。

二、小学生的“数学理解”现状剖析

1.“结果”成为学生学习的价值判定。

当下，很多教师对学生数学理解的认知仅限于口头询问“你理解了吗”，或者是通过练习、测试来检测学生的掌握情况，他们重视知识的记忆、方法的模仿、题型的归类、问题解答的正确率和速度，却忽视了本该让学生懂得的“为什么这样做”“还可以怎样做”，致使学生的知识理解难以达到应有的水平，数学理解被人为架空。

2.“记忆”成为学生学习的主要方式。

格式塔心理学家苛勒的“顿悟说”指出：学习是个体利用本身的智慧与理解力对情境及情境与自身关系的顿悟，而不是动作的累积或盲目的尝试。综观当下的学生，他们缺乏主动建构的精神，往往只按照教师“暗示”的思路和方法去解决问题，盲从于教师给出的结论，学习多依靠大量的练习来支撑，“记忆”是学生最主要的学习特点，数学理解能力基本丧失。

三、影响学生“数学理解”的障碍分析

1.活动材料的呈现影响学生的数学理解。

活动材料数量太多且缺乏层次性，脱离学生生活实际或者不能构筑起新旧知识间的联系，这影响着学生对数学知识的主动建构。

2.教师教学方式的单一化影响学生的数学理解。

当下，受应试教育的影响，仍有许多教师将大规模的习题训练作为主要的教学方式，没有给学生留出足够的时间去理解、反思所学的知识，这样的教学势必影响学生的数学理解。

3.学生“理解意向”的强弱影响他们数学理解。

如果学生在学习中能自发地产生理解的意向，就能积极主动地调动起他们认知结构中与此相关的观念或相应的认知图式。反之则易产生理解障碍。

4.学生原有认知水平的高低影响他们的数学理解。

波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。”因此，学习新知识以前，学习者头脑中一定要具备与之有关的预备知识并能随时被调动起来，这样有利于促进其数学理解。

四、消解“数学理解”障碍的课堂教学策略探析

（一）创生感性资源，促进学生内化数学理解

1.运用直观、感性的教学。

恰当地运用直观教学是促进学生的数学理解的有效手段。

如《认识等式》一课的教学片段：

师：你能在天平两边放上砝码，使天平平衡吗？

学生分小组操作并回答。

师：你能用式子表示天平两边物体质量的关系吗？

从学生熟悉的天平平衡的直观情境出发，让学生体会到等号左边的算式和右边的数表示两个相等的量，突破其原有认知中等号作为表示运算结果时出现的符号的认识，呈现出“等式”的直观形象，逐渐加深学生对相等关系的感知。

2.开展丰富的数学活动。

操作是学生进行有效数学理解的途径之一，能促使他们整理感性材料，找出有规律的现象，通过抽象、概括获得对数学知识的理解。

教学《认识方程》一课时，教师通过“请你把天平左边的砝码拿走一只，你怎样表示天平两边的关系？”与“再在天平左边放上任意一个物体，天平可能会出现哪些情况？用含有字母的式子表示并进行分类”这样两个活动，引导学生观察、比较、分类、概括，逐步分化出方程的概念。

教师把“纯粹”的数学知识与学生熟悉的、具体的生活现象相联系，借助操作活动把抽象的数学概念具体化、形象化，为学生的数学理解搭建“脚手架”，帮助学生掌握概念的内涵，理解概念的外延，建构起对概念本质特征的认识。

3.有效利用错误资源和反例。

正例有利于丰富概念，反例有利于明晰概念。仅仅会背定义的学生往往对概念的理解水平很低，而运用概念去判断才能对概念的本质属性与非本质属性有透彻的认识。

学习了方程的概念后，教师请学生判断出示的式子里哪些是等式，哪些是方程，并说明理由，引导学生找错议错，挖出“错根”，排除“非方程”的干扰，加深了他们对方程的理解。

（二）把握知识联系，促进学生深化数学理解

1.加强新旧知识间的联系。

数学理解的特点之一“发展性”指出了前后数学知识之间的相互影响关系，“用字母表示数”与“方程”之间即存在这种关系。教学时，教师可以充分运用“用字母表示数”的旧知，在其与“方程”之间架起桥梁，帮助学生理解。

师：在天平左边放上任意一个物体，天平会出现哪些情况？你能用式子表示吗？

提示：这个物体的重量怎么表示？

指出：这些字母表示的数我们把它叫做未知数。

这个教学设计完成了由新化旧、由旧推新的转换，实现了旧知对新知的顺应，促进了学生的数学理解，引导他们建立起了新的数学认知结构。

2.引导学生编织知识网。

学习和掌握数学知识，不是对它们进行简单的堆砌，而是在头脑中构建起良好的认知结构，包括清晰的知识层次、知识间的相互关系及其内在联系，以及其中蕴含的数学思想和方法。将片断的知识纳入相应的知识体系中，使其存储方式不是点状，而是由知识组块形成的链状、网状、立体结构，易于学生激活与提取。

师：关于方程你了解了哪些知识？

师：这么多知识杂乱无序，你能对它们进行有序的整理吗？

小组合作整理。

师展示学生整理的知识网络图：

这样的整理过程可以确认学生对数学知识是否真正理解了，同时也是让学生再次理解知识的过程。

（三）架设生活桥梁，促进学生外化数学理解

1.注重发挥生活经验和生活原型的推动作用。

学生的数学学习不是独立于社会环境的，其认识起点也不是纯粹的数学，而是一些生活实例，它们是学生数学学习的基础，是学生数学学习的兴趣所在。

师：我们一起来玩个游戏吧!老师手里有一些牌，请你任抽一张，将牌上的数乘以2再加上1，告诉老师你的最后结果，老师马上就能猜到你抽到的数是几。谁愿意试试？

…………

师：想知道老师是怎么这么快就猜到了你们抽到的牌的吗？

生：你一定是倒推的，将得数减去1，再除以2。

将生活中学生喜闻乐见的扑克牌引入知识教学，使游戏与方程的学习自然、无痕地联系起来，枯燥的数学变得有趣、生动、易于理解。这些材料是学生生活经验和数学理解的桥梁，是学生旧知与新知之间的纽带。

2.引导学生在生活中应用数学。

数学源于生活，寓于生活，用于生活，数学学习只有和生活联系起来才有活力，学生才能体会到数学学习的价值，才能产生数学学习的内部需要。

课件播放达能佳钙饼干广告视频。

提问：你捕捉到关于饼干成分的信息了吗？（1包佳钙饼干的钙含量＝3杯牛奶的钙含量）

师：你能用方程表示出数量之间的关系吗？估计一下，每片饼干含多少毫克钙？

教师以生活问题引入数学问题，引导学生用方程表示数量间的关系，这样将生活情境数学化，将数学生活化，使两者达到最佳的融合，对培养学生应用数学解决实际问题起到了催化作用。

总之，数学理解是学生获取数学知识的保证，是他们数学素养发展的前提，是其数学学习的第一追求。没有数学理解就不能进行有效的思维，有了深刻的数学理解才可能真正掌握思想方法，才能有所发现和创造。教师要深刻领会数学理解在学生认识数学、理解数学以及感受数学中所具有的重要作用，利用多种方式、从教学的多个方面凸显理解在数学教学中的核心地位，营造一个为理解而教、为理解而学的数学教学氛围，使学生的数学能力和数学素养得到最大程度的发展。

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］徐彦辉.国外“数学理解”问题研究评述［J］.数学通报，2010（1）：15-18，37.

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖

（作者单位：江苏省连云港市墟沟中心小学新城校区）