损失分布法与Copula函数

中图分类号：F275 文献标识：A 文章编号：1009-4202（2010）12-173-01

摘 要 损失分布法是计算操作风险的高级度量方法中敏感度最高的一种。2001年1月，在巴塞尔委员会公布的操作风险咨询文件中，首次将损失分布法作为计量银行操作风险资本的方法，在2001年9月，巴塞尔正式将损失分布法纳入到高级衡量法的框架中来。损失分布法作为高级衡量法中对计量要求最高的一种方法，引起了理论界的关注和讨论。

关键词 损失分布法 操作风险

一、损失分步法度量模型

巴塞尔新资本协议里给出了操作风险的度量模型，主要有基本指标法、标准法、内部衡量法、损失分布法、极值理论等。在度量模型中损失分布法是最为复杂的。

损失分布法的构造过程通常包括以下内容：

首先，基于各种内部和外部的经验数据，分别假设损失频率和损失强度的分布族。关于损失频率分布，经常使用的分布包括泊松分布、二项分布、负二项分布、超几何分布等；在损失强度方面，使用的分布通常包括对数正态分布、伽马分布、Weibull分布、Frechet分布、Pareto分布、Beta分布、混合分布等，这些分布都具有偏峰厚尾的特点。

第二，参数估计。使用历史数据对所选用的模型估计参数。

第三，确定拟合分布。对已有数据，使用卡方检验、Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验或加权K-S检验，Anderson-Darling检验来选定恰当的拟合分布。

最后，通过特定的合成方法得到总和损失分布，进而可以获得相应的操作风险资本。

损失分布法的一般框架可表示为：

其中Li的分布为损失强度分布，N的分布称为损失频度分布，S的分布为总和损失分布。一般情况下，往往假设损失强度L独立同分布，且每个Li独立于N。Klugman等（2004）认为，总和损失分布S可以用傅立叶（Fourier）转换，蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟或者解析近似的方法获得。其中，Monte Carlo模拟是实践中最常用的方法。获得各业务/事件类型的损失分布后，可将相应的VaR值加总以获得银行的操作风险资本，这样做是假设各类损失存在完全相关关系。

二、总和损失分布的过程中引入copula函数

在新巴塞尔协议中，总和损失分布只是把各业务/事件类型的损失分布简单相加，而实际中一些业务/事件类型可能存在相关性，简单相加会存在重复计算。所以引入copula函数后求得的总和损失会更接近实际值。

（一）用Copula函数表示操作风险损失相关性

巴塞尔新协议指出采用高级计量法时，“只要商业银行表明其系统能在估计各项操作风险损失之间相关系数方面计算准确、实施合理有效、考虑到了此类相关性估计的不确定性，且高度可信，并符合监管当局要求，监管当局就允许银行在计算操作风险损失时，使用内部确定的相关系数”。新协议并没有指明这种相关性可能有多大以及如何度量这些相关系数。由于银行统计和记录操作风险损失事件的历史较短，很难根据历史数据估计不同操作风险之间的相关系数。

新巴塞尔协议中，关于操作风险的高级衡量法都是对单个风险事件的加总累计，基本没有考虑风险资产组合效应。损失分布法在具体计算整体资本配置的时候需要将56个组合的操作风险资本相加而成，隐含的假设是各组合的操作风险完全不相关。但在实践中这是非常极端的情况。现实中更多的情形是介于完全相关和独立之间的，而且相关结构不仅限于线性，所以按照损失分布法下的相关结构得到的计算结果往往会高估金融机构操作风向的资本要求。

当Copula函数是乘积Copula形式时，满足损失分布法下的假设条件，也就是损失分布不相关情形。根据Copula函数的性质，所有Copula函数满足其相关结构是介于完全负相关和正相关之间的。所以考虑损失分布相关时，可以用不同的Copula函数来表示相关结构，同时拟合联合分布。通常用Monte Carlo模拟来得到加总的损失分布形式。

（二）用Copula函数表示风险发生频率相关性

操作风险发生频率常常是由离散分布中的泊松分布或负二项分布来表示。如单个事件发生频率服从均值为 人的泊松分布。对多个单个事件构建联合分布时就比较困难了，song（2000）建议使用Copula函数来建立联合分布。如具有相关参数为p的正态Copula函数建立的多元泊松分布为 ，从而建立多变量泊松分布的联合概率表。进一步采用Monte Carlo模拟方法可以很容易的估计相应的参数，得到损失分布函数。

因此，损失分步法中引进可以灵活构造相关性结构的Copula函数，既能描述相关程度，又能描述相关模式，而且本身也是分布函数，从而可以用Copula函数对操作风险的损失分布建模。

参考文献：

[1]Annalisa Di Clemente and Claudio Romano,A Copula-Extreme Value Theory Approach for Modelling Operational Risk. First Draft. September,2003.

[2]Hela Dahen,Georges Dionne,Scaling models for the severity and frequency of external operational loss data. Journal of Banking & Finance. 2009.08.

[3]顾京圃.中国商业银行操作风险管理.中国金融出版社.2006(9).

[4]罗蒙等.操作风险高级计量法及其验证.国际金融研究.2009(5).