恰当引入反例 培养综合能力

由于反例能够把一个很难说清、容易混淆的问题变得简单明了、浅显易懂，在数学教学中非常容易被学生理解接受，引起学生的共鸣。同时学生能把这种数学思想、数学方法潜移默化地运用到其他学科和生活领域中，对培养学生运用数学思维有不可忽略的作用。在数学教学中，教师通过恰当地引入反例辅助教学，引导学生合理构造反例，启发学生打破常规，从相反的方向考虑问题，能够有效地激发学生的积极思维，培养学生的数学综合能力。

一、列举反例，理解抽象概念

数学概念是反映数学对象的本质属性和特征思维方式，反映的是一类事物的全体。初中生受到自身认知水平的限制，对抽象的数学概念往往是片面或表面上的认识，有时还会产生一些混淆和错误，学生会说出概念却并不一定真的理解概念。教学中运用反例，可以进一步使学生对所学概念进行反思，引起矛盾冲突，促使学生积极思考，在矛盾冲突中对所学概念的认识加以完善，进而达到深刻理解和掌握的目的。

例如，在讲授圆的概念时，教师通过现实生活中常见的事物如车轮、圆形的时钟等，让学生对圆有直观的感性认识。为了突出圆的本质特征，形成圆的概念，教学中笔者用举反例的方法进行讲解：

师：猜想下列哪个说法是圆的定义，如果不是，请举出反例，如果都不是，请你给圆下个定义。

（1）到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2）平面上到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆。

这样设计问题，让学生有一种独特的感觉，在这种感觉的驱动下，学生开始思考、操作，很容易找出两个反例来这两个不完整的定义，满足条件（1）的是球，满足条件（2）的可以是弧等。

这个问题的设计目的在于，引导学生利用反例猜想圆的定义，学生经历了举反例这个思考过程，逐步形成圆的概念，在本质上认识圆的构成条件：一是在同一平面内，二是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，二者缺一不可。

一个正确的认识往往需要经历正反两方面的比较和鉴别才能确立。反例通过证伪，从反方向帮助学生理解概念并加深对概念的认识，只要学生记住了概念的内容，掌握了概念的本质特征，就不可能错误地应用数学概念。

二、穿插反例，促进深入思考

在中学数学教材中，定理、公理或性质大都用抽象的数学语言来描述，学生在学习过程中往往会忽略其中的关键词语，从而造成解题的错误。为了克服这一现象，在教学中教师可有机地穿插反例，以帮助学生记忆这些关键词语，提高对定理、公理及性质的理解和掌握，并能准确地加以运用；还可以促使学生克服思维惰性，促进他们深入思考，全身心地投入到某段学习当中。

例如，在“探索直角三角形全等条件”的教学中，笔者向学生呈现如下问题：

问题1：判断下列命题是否正确。如果命题正确，请说明理由；如果命题错误，请举出反例。

（1）两直角边分别相等的两个直角三角形全等。

（2）任意两边分别对应相等的两个直角三角形全等。

（3）一锐角相等的两个直角三角形全等。

（4）一锐角和一边分别对应相等的两个直角三角形全等。

问题2：直接利用三角形全等的判定条件来判定两个直角三角形全等是否简便？如果不简便，你能否根据解决问题1的经验，提出一个判定两个直角三角形全等的方法，并试着证明。

我们可以看到，问题1中的四个命题均是两个直角三角形全等的判断，其特征是命题的题设不同，因此解决这些问题可以将学生的注意力集中到判定两个直角三角形全等条件的发现上。命题（1）（4）利用任意三角形全等的条件就可以判断出是正确的，而通过举反例很容易否定（3）；只有在（2）的处理中，学生无法直接判断出是否正确，但是又无法找到反例，此时学生就会尝试先用勾股定理再用任意三角形全等的条件解决问题。发现这个过程很麻烦，再结合问题2，相信学生会很快地猜想出判定两个直角三角形全等的方法。

这个教学设计目的是使学生通过猜想、举反例、证明这三个过程，掌握两个直角三角形全等的判定定理，同时激发他们学习的愿望和兴趣，而定理的形成也使他们的成就感增强、自信心受到鼓舞，满足了他们的情感需求。

三、构造反例，破除思维障碍

对于初中生来说，解题是他们必须掌握的数学能力。通过解题，可以考察他们对知识的掌握和运用情况。学生在做数学题时遇到难以解决的问题是正常的，受思维定势影响，大多数学生总是千方百计地从正面寻找解题的出路，即使在他们一次次失败之后，仍然想不到是否可以举出一个反例来否定命题。因此，引导学生从逆向思维的角度去解决问题不失为一个好办法。

例如，探究命题“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”。这个命题很容易给学生造成一种错觉认为是正确的，因而从正面去寻找证明的途径。此时教师适当地提示学生，鼓励他们试着构造一个反例来辨别真假，如果能找到一个反例就能说明这个命题是假的，否则为真。

在这道题中，不难构

造反例：如图1所示，AC

=AD，AEBD于E，显然

ABC与ABD，条件具

备，但不全等。

数学解题是一种技巧，举反例这种技巧在解答选择题上体现更为突出。培养学生通过举反例来完成选择题，既可以提高学生解题速度，也可以增强学生思维的灵活性。

例：下列命题中，正确的命题是（ ）。

■

A.同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等。

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。

C.对应边成比例的两个多边形相似。

D.若A、B、C是直角三角形的三边长，斜边长为c，那么以■、■、■的长为边的三条线段能组成一个三角形。

通过举反例，很轻松地否定命题A、B、C，如图2，弦AB所对的圆周角∠C≠∠D，所以命题A是假命题；如图3，AB∥CD，AD=BC，但四边形ABCD是等腰梯形，所以否定命题B；如图4的正方形ABCD与图5的菱形EFGH，满足对应边成比例，但显然它们不相似，故又否定命题C，所以只有命题D是正确的命题。反例可以避开知识点不清所带来的困扰，从而快速准确地选出答案。

这一教学案例设计对初三学生尤为合适，培养他们如何利用反例来缩短答题时间，掌握快速解题的技巧。在数学解题的教学中，注重反例的运用不但能使学生对所学知识有深刻、透彻的理解，还能将复杂问题简单化，起到事半功倍的作用。

四、抓住反例，提高解题能力

在日常教学中，学生在解题时由于思路不清晰或思考欠周全，会出现一些错误的解法。善于利用学生的错解，抓住典型树立反例，有利于培养学生思维的严谨性。一方面，我让学生准备一本错题收录本，专门用于收集、订正平时练习时出现的错误，让他们自己分析原因，写出正确答案；另一方面，在授课时及时抓住课堂练习中出现的错解，以之为反例，让学生共同去讨论、研究，使他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解法。

例题：已知方程kx2-2（k+1）x+k-1=0，当k取何值，方程有实数根？

有学生的解题过程如下：

解：因为关于x的方程有实数根，所以？驻≥0，即[-2（k+1）]2-4k（k-1）≥0

解得k≥-■，又因为k≠0，所以k≥-■且k≠0。

分析：一元二次方程是初中代数的重要内容，很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。上述解题过程可以作为一个典型的反例，此方程二次项系数是一个待定系数k，故此题应围绕k的取值分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。

（1）当k=0时，原方程变为一元一次方程-2（k+1）x+k-1=0，，其实数根为x=-■；

（2）当k≠0时，原方程为一元二次方程，须满足？驻≥0，即k≥-■。

综合（1）、（2）知：k≥-■。

在课堂上，教师要及时抓住学生的错解，构设反例进行讨论分析，可以更好地刺激学生学习的兴趣，培养严谨的思维和自主查错的习惯，提高解题能力。

总之，反例教学作为一种重要的教学手段，是常规教学的有力补充，起到正面教学无法达到的强调作用。反例，给相对枯燥、单调的数学学科增添绚丽色彩，带来许多的惊喜，给人以深刻的印象。反例教学，教者如应用得当，就能为学生找到从模糊错误的思维中通往豁然开朗的桥梁，收到事半功倍的效果。

[参 考 文 献]

[1]李东丰.浅析初中数学教学中的反例教学[J].数学学习与研究，2013（6）.

[2]马转英.用反例教学拓宽学生思维[J].中学生数理化，2010（3）.